Thèse de Tate

En théorie des nombres, la thèse de Tate est la thèse de doctorat de 1950 de John Tate (1950) (Fourier Analysis in Number Fields and Hecke's Zeta-Functions) réalisé sous la direction d'Emil Artin à l'Université de Princeton^[1] et finalement publiée en 1967 par Cassels et Fröhlich^[2]. Dans ce travail, Tate reformule les résultats classiques de Dirichlet et d'Erich Hecke sur les fonctions L de caractères dans le langage des adèles, ce qui est aujourd'hui compris comme la théorie des formes automorphes pour ${\displaystyle \mathrm {GL} (1)}$, le groupe général linéaire de degré ${\displaystyle 1}$^[3]. Il redémontre dans un cadre unifié l'équation fonctionnelle et le prolongement analytique des fonctions L de Hecke, dont les fonctions L de Dirichlet et les fonctions zêta de Dedekind sont des exemples. Cette présentation simplifie grandement les preuves de Hecke, réputées difficiles. Elle permet d'identifier précisément la constante apparaissant dans l'équation fonctionnelle, ce que Hecke n'était pas parvenu à réaliser^[4].

Une preuve de l'équation fonctionnelle et du prolongement analytique de la fonction zêta de Riemann consiste à trouver une représentation intégrale de la fonction zêta (c'est la transformée de Mellin de la fonction thêta de Jacobi) et d'utiliser la formule sommatoire de Poisson, un résultat d'analyse harmonique. Comme Hecke, Tate généralise cette idée et relève les fonctions L de Hecke en des intégrales sur le groupe localement compact des idèles. En utilisant l'analyse harmonique sur les adèles, il prouve finalement l'équation fonctionnelle et le prolongement analytique des fonctions L de Hecke. Ses techniques lui permettent également de localiser les pôles des fonctions L de Hecke.

Les travaux de Hecke ont grandement participé au développement de la théorie des représentations automorphes d'un groupe réductif quelconque, dont ${\displaystyle \mathrm {GL} (1)}$ est l'exemple le plus simple, s'inscrivant plus généralement dans le programme de Langlands^[1].