Écart type géométrique

Si la moyenne géométrique d'un ensemble de nombres {A₁, A₂, ..., A_n} est notée μ_g, alors l'écart type géométrique est défini par :

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp \left({\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln {A_{i} \over \mu _{g}})^{2} \over n}}\right).\qquad \qquad (1)}$

où

${\displaystyle \mu _{g}={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}.\,}$

on a

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).}$

et

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}].\,}$

${\displaystyle \ln \,\mu _{g}}$ est donc la moyenne arithmétique de ${\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}}$, par conséquent l'écart type de cet ensemble de nombres est :

${\displaystyle \ln \sigma _{g}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}}$^{[b 1]}

d'où

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln {A_{i} \over \mu _{g}})^{2} \over n}}}$.