G2 (数学)

リー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$は最も小さい例外単純リー群である。1887年5月23日、ヴィルヘルム・キリングが今でいる${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$に該当する14次元単純リー群を提唱した^[1]。

G₂のカルタン行列は以下の通りである。

${\displaystyle \left({\begin{array}{rr}2&-3\\-1&2\end{array}}\right)}$

ディンキン図形及びルート図は以下の通りである。

G2のディンキン図形	G2のルート系。	A2 の立方八面体への射影	G2の部分群としてのF4とE8の射影

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1) (0,1,−1), (0,−1,1)

(2,−1,−1), (−2,1,1) (1,−2,1), (−1,2,−1) (1,1,−2), (−1,−1,2)

ワイル群及びコクセター群${\displaystyle G=W(G_{2})}$は12次元二面体群${\displaystyle D_{6}}$である。これの最小次元は${\displaystyle \mu (G)=5}$である。

G₂ はリーマン多様体におけるホロノミー群（英語版）の一つである。そのホロノミー多様体はG2多様体（英語版）とも呼ばれる。

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14個の生成子A, ..., Nから成る生成子行列は以下の通りである。

${\displaystyle A\lambda _{1}+\cdots +N\lambda _{14}=\left({\begin{matrix}0&C&-B&E&-D&-G&F-M\\-C&0&A&F&-G+N&D-K&-E-L\\B&-A&0&-N&M&L&-K\\-E&-F&N&0&-A+H&-B+I&C-J\\D&G-N&-M&A-H&0&J&I\\G&K-D&-L&B-I&-J&0&-H\\-F+M&E+L&K&-C+J&-I&H&0\end{matrix}}\right)}$

これは以下のリー群に該当する

${\displaystyle G_{2}=\{g\in \mathrm {SO} (7):g^{*}\varphi =\varphi ,\varphi =\omega ^{123}+\omega ^{145}+\omega ^{167}+\omega ^{246}-\omega ^{257}-\omega ^{347}-\omega ^{356}\}}$

${\displaystyle G_{2}}$には480の異なる表現がある。 ${\displaystyle \varphi }$ には30の異なる表式と16の異なる記号がある。代数学的には、少なくとも11の代数は${\displaystyle \mathrm {Spin} (15)}$から導かれる。