リー群の表現

F_q を位数 q で標数 p の有限体とする。G をリー型の有限群、つまり、G は F_q 上に定義された連結簡約群 G の F_q-有理点であるとする。たとえば、n を正の整数とすると、GL(n, F_q) と SL(n, F_q) はリー型の有限群である。${\displaystyle J=\left[{\begin{smallmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{smallmatrix}}\right]}$ とする。ここに I_n は n×n の単位行列とする。

${\displaystyle Sp_{2}(\mathbb {F} _{q})=\left\{g\in GL_{2n}(\mathbb {F} _{q})|^{t}gJg=J\right\}}$

とすると、Sp(2,F_q) はランク n のシンププレクティック群であり、リー型の有限群である。G = GL(n, F_q) や SL(n, F_q) （他の例もある）とすると、G の標準ボレル部分群（英語版）(standard Borel subgroup) B は、G の上三角元からなる G の部分群である。G の標準放物型部分群（英語版）(standard parabolic subgroup)は、標準ボレル部分群 B を含む G の部分群である。P が GL(n, F_q) の標準放物型部分群 GL(n, F_q) であれば、ｎ の分割 (n₁, …, n_r) が存在し（正の整数の集合 ${\displaystyle n_{j}\,\!}$ で ${\displaystyle n_{1}+\ldots +n_{r}=n\,\!}$ を満たす) 、${\displaystyle P=P_{(n_{1},\ldots ,n_{r})}=M\times N}$ となる。${\displaystyle M\simeq GL_{n_{1}}(\mathbb {F} _{q})\times \ldots \times GL_{n_{r}}(\mathbb {F} _{q})}$ は次の形となる。

${\displaystyle M=\left\{\left.{\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&A_{r}\end{pmatrix}}\right|A_{j}\in GL_{n_{j}}(\mathbb {F} _{q}),1\leq j\leq r\right\},}$

と

${\displaystyle N=\left\{{\begin{pmatrix}I_{n_{1}}&*&\cdots &*\\0&I_{n_{2}}&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&I_{n_{r}}\end{pmatrix}}\right\},}$

ここに、${\displaystyle *\,\!}$ は ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ の任意の値の構成要素とする。

• ローレンツ群の表現論（英語版）(Representation theory of the Lorentz group)
• ホップ代数の表現論（英語版）(Representation theory of Hopf algebras)
• リー群の随伴表現(Adjoint representation of a Lie group)
• リー群のトピックスの一覧表（英語版）(List of Lie group topics)
• 量子力学の対称性（英語版）(Symmetry in quantum mechanics)

• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6 
• Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9 .
• Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, 140 (2nd ed.), Boston: Birkhäuser, http://www.math.sunysb.edu/~aknapp/books/beyond2.html .
• Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7 . The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.