リー群一覧表

• Cpt：コンパクト性(コンパクト空間である(Y)か否(N)か)
• ${\displaystyle \pi _{0}}$：単位元成分_{（英語版）}。単位元空間の成分の数は連結空間の数を与える。 単連結空間であるならば自明群(=0)である。
• ${\displaystyle \pi _{1}}$：基本群。 短連結空間ならば自明群(=0)である。
• 次元：${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の指数n

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リー群	概要	演算	Cpt	${\displaystyle \pi _{0}}$	${\displaystyle \pi _{1}}$	被覆空間	性質	リー代数	次元
Rn	ユークリッド空間	加法	N	0	0		可換	Rn	n
R×	0を除く実数	乗算	N	Z2	–		可換	R	1
R+	正の数	乗算	N	0	0		可換	R	1
S1U(1)	円周群	乗算	Y	0	Z	R	可換 SO(2)、Spin(2)及びR/Zと同型	R	1
Aff(1)	${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$のアフィン写像	合成写像	N	Z2	–		可解群 R+及びR×の半直積	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\mathbb {R} ^{*}&\mathbb {R} \\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	2
H×	0を除く四元数	乗算	N	0	0			H	4
S3Sp(1)	単位四元数 三次元球面	乗算	Y	0	0		SU(2)及びSpin(3)と同型 SO(3)の被覆空間	Im(H)	3
GL(n,R)	n次元実一般線形群	乗算	N	Z2	–			M(n,R)	n2
GL+(n,R)	行列式が正のn次元実正方行列	乗算	N	0	Z  n=2 Z2 n>2		n=1のときR+と同型かつ単連結	M(n,R)	n2
SL(n,R)	n次元実特殊線型群	乗算	N	0	Z  n=2 Z2 n>2		n=1のとき自明群	sl(n,R)	n2−1
SL(2,R)	ポワンカレの上半平面モデル	乗算	N	0	Z		被覆空間には有限次元の忠実表現なし SU(1,1)及びSp(2,R)と同型	sl(2,R)	3
O(n)	n次元直交行列	乗算	Y	Z2	–		球面または 三次元球面と対称群	so(n)	n(n−1)/2
SO(n)	n次元直交群	乗算	Y	0	Z  n=2 Z2 n>2	Spin(n) n>2	n=1のとき自明群 n=2のとき円周群と同型 n=3のとき、球面上の回転を表す	so(n)	n(n−1)/2
SE(n)	n次元運動群	乗算	N	0				se(n)	n + n(n−1)/2
Spin(n)	n次元スピン群	乗算	Y	0 n>1	0 n>2		n=1のときZ2 と同型で非連結 n=2のとき円周群と同型で非単純連結	so(n)	n(n−1)/2
Sp(2n,R)	2n次元実斜交群	乗算	N	0	Z			sp(2n,R)	n(2n+1)
Sp(n)	n次元コンパクト斜交群	乗算	Y	0	0			sp(n)	n(2n+1)
Mp(2n,R)	2n次元実メタプレティック群（英語版）	乗算	Y	0	Z		このリー代数は代数群ではない Sp(2n,R)の二重被覆群	sp(2n,R)	n(2n+1)
U(n)	n次元ユニタリ群	乗算	Y	0	Z	R×SU(n)	n=1のときS1と同型 複素リー群/代数でない	u(n)	n2
SU(n)	n次元特殊ユニタリ群	乗算	Y	0	0		複素リー群/代数でない	su(n)	n2−1

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次元は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の指数nである。

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リー代数	要素	乗算	単純性	半単純性	性質	次元
R	実数	0				1
Rn	n次元実数	0				n
R3	3次元実数	外積	Yes	Yes		3
H	四元数	交換子積				4
Im(H)	純虚四元数	外積	Yes	Yes	su(2)、so(3,R)と同型	3
M(n,R)	n次元実正方行列	交換子積				n2
sl(n,R)	トレース0のn次元実正方行列	交換子積	Yes	Yes		n2−1
so(n)	n次元実交代行列	交換子積	Yes ただし、n=4は除く	Yes	n=4のとき、半単純リー代数であるが、単純ではない	n(n−1)/2
sp(2n,R)	${\displaystyle JA+A^{T}J=0}$を満たす2n次元実正方行列 ここで、Jはn次元実交代行列	交換子積	Yes	Yes		n(2n+1)
sp(n)	n次元四元数エルミート交代行列	交換子積	Yes	Yes		n(2n+1)
u(n)	n次元エルミート交代行列	交換子積			実リー代数	n2
su(n) n≥2	トレース0のn次元エルミート交代行列	交換子積	Yes	Yes	実リー代数	n2−1

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複素リー群は複素多様体であり、乗算と逆元がそれぞれ正則写像による群として定義される。次元は${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$の指数nである。それぞれの複素リー群／代数は、2倍の次元の実リー群／代数と対応している。

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リー群	要素	演算	Cpt	${\displaystyle \pi _{0}}$	${\displaystyle \pi _{1}}$	被覆空間	性質	リー代数	次元
Cn	n次元複素数	加法	N	0	0		可換	Cn	n
C×	0を除く複素数	乗算	N	0	Z		可換	C	1
GL(n,C)	n次元複素一般線型群	乗算	N	0	Z		n=1のとき、 C×と同型	M(n,C)	n2
SL(n,C)	n次元複素特殊線形群	乗算	N	0	0		n=1のとき、自明群 n=2のとき、Spin(3,C)及びSp(2,C)と同型	sl(n,C)	n2−1
PSL(2,C)	2次元射影可能特殊線形群	乗算	N	0	Z2	SL(2,C)	メビウス変換群、ローレンツ群SO+(3,1,R)及びSO(3,C)と同型	sl(2,C)	3
O(n,C)	n次元複素直交群	乗算	N	Z2	–		n=1のとき有限群	so(n,C)	n(n−1)/2
SO(n,C)	n次元複素特殊直交群	乗算	N	0	Z  n=2 Z2 n>2		n=1のとき、自明群 n=2のときアーベル群かつC×と同型	so(n,C)	n(n−1)/2
Sp(2n,C)	2n次元複素斜交群	乗算	N	0	0			sp(2n,C)	n(2n+1)

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次元とは${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$の指数nである。それぞれの複素リー代数は、2倍の次元の実リー代数と対応している。

ここで、任意の体に対して2次元アフィン変換のリー代数gが存在する。その例は実リー代数の表で挙げた。

さらに見る n=2のとき、 ...

リー代数	要素	乗算	単純性	半単純性	性質	次元
C	複素数					1
Cn	n次元複素数	0				n
M(n,C)	n次元複素正方行列	交換子積				n2
sl(n,C)	トレース0のn次元正方行列	交換子積	Yes	Yes	n=2のとき、${\textstyle \mathrm {su} (2)\otimes \mathbb {C} }$と同型	n2−1
so(n,C)	交代行列	交換子積	Yes ただし、n=4は除く	Yes	n=4のとき、半単純リー代数であるが、単純ではない	n(n−1)/2
sp(2n,C)	JA + ATJ = 0を満たす2n次元正方行列 ここでJ は交代行列	交換子積	Yes	Yes		n(2n+1)

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以下は、古典的ではないが単純リー群である、例外型リー群の一覧である。ディンキン図形も示す。

さらに見る リー群, 次元 ...

リー群	次元	基本群	ディンキン図形
E6（英語版）	78	3
E7（英語版）	133	2
E8（英語版）	248	1
F4（英語版）	26	1
G2（英語版）	14	1

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• Classification of low-dimensional real Lie algebras_{（英語版）}

• 単純リー群

• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6