グランドポテンシャル From Wikipedia, the free encyclopedia 統計力学 熱力学 · 気体分子運動論 粒子統計 マクスウェル＝ボルツマン ボース＝アインシュタイン フェルミ＝ディラック パラ · エニオン · 組み紐（英語版） アンサンブル ミクロカノニカルアンサンブル カノニカルアンサンブル グランドカノニカルアンサンブル 等温定圧アンサンブル 等エンタルピー-定圧 熱力学 気体の法則（英語版） · カルノーサイクル デュロン＝プティの法則 模型 デバイ · アインシュタイン · イジング 熱力学ポテンシャル 内部エネルギーエンタルピーヘルムホルツの自由エネルギーギブズの自由エネルギーグランドポテンシャル 科学者 マクスウェル · ギブズ · ボルツマン · アインシュタイン · オンサーガー · ウィルソン · 久保亮五 · カダノフ · フィッシャー · 川崎恭治 · パリージ · エドワーズ · ローレンツ · 蔵本由紀 · ジャルジンスキー 表話編歴 グランドポテンシャル（英語: grand potential）とは、熱力学における示量性状態量の1つである。 統計力学においてはグランドカノニカルアンサンブルと関係付けられる。 グランドポテンシャルはエネルギーの次元を持つ。 記号 J {\displaystyle J} や Ω {\displaystyle \Omega } で表されることが多い。また、単に熱力学ポテンシャル（ねつりきがくポテンシャル、英語: thermodynamic potential）と呼ばれることもある。 グランドポテンシャル J {\displaystyle J} は、ヘルムホルツエネルギー F {\displaystyle F} 、化学ポテンシャル μ {\displaystyle \mu } 、物質量 N {\displaystyle N} を用いて J = F − μ N {\displaystyle J=F-\mu N} で定義される。 グランドポテンシャルを温度 T {\displaystyle T} 、体積 V {\displaystyle V} 、化学ポテンシャル μ {\displaystyle \mu } の関数 J ( T , V , μ ) {\displaystyle J(T,V,\mu )} と見ると、完全な熱力学関数となる。 また、ヘルムホルツエネルギーを温度 T {\displaystyle T} 、体積 V {\displaystyle V} 、物質量 N {\displaystyle N} の関数 F ( T , V , N ) {\displaystyle F(T,V,N)} としてみたとき、グランドポテンシャルは N {\displaystyle N} に関するルジャンドル変換 J ( T , V , μ ) = F ( T , V , N ( T , V , μ ) ) − μ N ( T , V , μ ) {\displaystyle J(T,V,\mu )=F(T,V,N(T,V,\mu ))-\mu \,N(T,V,\mu )} と見ることができる。 →「熱力学ポテンシャル」も参照 微分 Summarize Timeline Fact Check グランドポテンシャル J ( T , V , μ ) {\displaystyle J(T,V,\mu )} の全微分は d J ( T , V , μ ) = {\displaystyle dJ(T,V,\mu )=} − S ( T , V , μ ) d T {\displaystyle -S(T,V,\mu )dT} − p ( T , V , μ ) d V {\displaystyle -p(T,V,\mu )dV} − N ( T , V , μ ) d μ {\displaystyle -N(T,V,\mu )d\mu } となる。ここで S {\displaystyle S} はエントロピー、 p {\displaystyle p} は圧力、 N {\displaystyle N} は物質量である。 従って、偏微分は S ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ T ) V , μ {\displaystyle S(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial T}}\right)_{V,\mu }} p ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ V ) T , μ {\displaystyle p(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial V}}\right)_{T,\mu }} N ( T , V , μ ) = − ( ∂ J ( T , V , μ ) ∂ μ ) T , V {\displaystyle N(T,V,\mu )=-\left({\frac {\partial J(T,V,\mu )}{\partial \mu }}\right)_{T,V}} となる。 系のスケール変換を考えると J = − p V {\displaystyle J=-pV} の関係が得られる。 統計力学との関係 統計力学においてはグランドカノニカルアンサンブルと関係付けられる。 大分配関数 Ξ ( β , μ ) {\displaystyle \Xi (\beta ,\mu )} を用いて J ( β , μ ) = − 1 β ln Ξ ( β , μ ) {\displaystyle J(\beta ,\mu )=-{\frac {1}{\beta }}\ln \Xi (\beta ,\mu )} と表される。ここで β = 1 / k T {\displaystyle \beta =1/kT} は逆温度、 k {\displaystyle k} はボルツマン定数である。 参考文献 芦田正巳『統計力学を学ぶ人のために』オーム社、2006年。ISBN 4-274-06671-1。 西川恭治、森弘之 著、荒船次郎ほか編 編『統計物理学』朝倉書店〈朝倉物理学大系〉、2000年。ISBN 4-254-13680-3。 関連項目 グランドカノニカル分布 大分配関数 この項目は、物理学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:物理学／Portal:物理学）。表示編集 Related Articles
の全微分は
はエントロピー、
は圧力、
は物質量である。
従って、偏微分は
