バースカラ2世

『リーラーヴァティ』の書名の由来

バースカラ2世の算術の本『リーラーヴァティ』は、彼の娘、あるいは妻のリーラーヴァティのために書かれたという伝説がある。いくつかの異なったバージョンが知られているが、そのうちの一つは以下のようなものである。

バースカラ2世が娘のリーラーヴァティのホロスコープを調べて占ったところ、娘は結婚できず、子をなすこともないという結果がでた。そこで丹念に調べなおしたところ、ある特定の時刻に新夫を迎え入れればこの宿命を逃れることが出来ることがわかった。バースカラ２世は水時計(tās-i sācāt)を設置し、その瞬間を待った。この水時計は、底に小さな穴をあけた空の容器を水の上に浮かべ、沈むのを待つ方式であった。ところが、娘は好奇心から水時計を覗き込み、衣服の装飾の真珠がカップに落ちて底の穴をふさいでしまい、正しいタイミングを逃すことになってしまった。そこで、バースカラ2世は娘の名を著書の題名として、慰めたという^[7][8]。

この伝説は、アクバルの宮廷詩人アブー・アルファイズ・ファイズィー(Abū’l Fayḍ Fayḍī)^{[注 1]}によるペルシア語版(1587年）の序文に初めて登場する^[9]。この後も伝説はあまり広まらず、John Taylorの1816年の『リーラーヴァティ』の英訳によると、この伝説は「現地の人間からは確認できず、またヒンドゥー教徒の著者たちによる言及も見当たらな」かった^[10]。

ところが、Taylorの翻訳の少し前の1812年、Charles Huttonの著書にこの伝説が紹介され^{[注 2]}、その後、西洋とインドで徐々に広まっていった。当時、ほとんどすべてのインド数学史の著作がこの伝説に言及した。それらはHuntonの記述をなぞることが多かったが、さまざまな創作を加えたものも現れた。インターネットが普及した今日にあっては、リーラーヴァティの伝説は、バースカラ2世の数学的な業績よりも有名なくらいである。さらにリーラヴァーティを過去の優れた女性数学者として賞賛し、女性科学者のロールモデルとする例もある^[11]。

なお、『リーラーヴァティ』の詩文の中には、にリーラーヴァティという名の女性へのよびかけが何度か現れるが、それらは自らの娘や、結婚を逃したり未亡人になった女性に対する言葉としては不自然である^[12]。

Sarmaは本伝説がペルシャ語訳に付け加えられた背景を以下のように推測している。翻訳にあたって、ファイズィーは直接原典を読み込むのではなく、サンスクリットに通じた協力者に内容を聞いて訳文を作成していた。ゆえに、ペルシア語版とサンスクリット版の間に多くの違いがあったという^[13]。また、ファイズィーはインドの古典文化にあまり詳しくなく、算術書の表題にに女性の名前がつけられることを不思議に思ったと考えられる。そして、この疑問をぶつけられた協力者が、ジャイナ教徒の間に伝わっていた類似の説話を元にこの逸話を作り、説明にかえた可能性がある^[14]。

「見よ！」

バースカラ2世のピタゴラスの定理の証明について、「バースカラ2世は図を描き「見よ！」とだけ述べた」とされることがある^[15][16][17]。バースカラ2世の名前を省き、「インドの証明」（Hindu Proof）ということもある^[18]。

数学史家　Kim Plofkerによると、この伝説のもとは、『ビージャガニタ』の二つの詩文と、それらにつづく散文の注釈である^[19]。ここで、バースカラ2世はピタゴラスの定理の証明に対応する内容を述べている^[20][21]。本項目の「数学·ピタゴラスの定理の証明」の節で述べるように、ここにはある程度の説明はなされており、上記の伝説は明らかな誤りである。

算術

バースカラ2世の算術についての著書『リーラーヴァティ』は、定義、算術用語、利子計算、算術級数と幾何級数、平面幾何学、立体幾何学、日時計の影、不変方程式の解法、組合せなどを扱っている。

『リーラーヴァティ』は13章からなり、算術だけでなく代数学や幾何学も扱い、一部は三角法や求積法を扱っている。具体的には、次のような内容がある。

• 定義
• ゼロの性質（除法を含むゼロの演算規則）
• その他の数に関すること。負数や無理数（冪根）を含む。
• 円周率の近似値。
• 算術。乗法や平方など。
• 逆三数法 (inverse rule of three)。3だけでなく、5, 7, 9, 11 に拡張。
• 利子計算に関する問題。
• 算術級数と幾何級数。
• 平面の幾何学。
• 立体の幾何学。
• 組合せ数学（順列と組合せ）。
• 線型および二次の不定方程式の整数解の求め方（クッタカ）。これについては、17世紀ルネサンス期のヨーロッパの数学者と同じ解法を示しており、非常に重要である。バースカラ2世の解法は、アーリヤバタなど先人の成果に基づくものだった。

彼の著書は体系化、解法の改善、新たな問題の導入などの点が優れている。さらに『リーラーヴァティ』には素晴らしい例題もあり、バースカラ2世は『リーラーヴァティ』で学ぶ学生にその内容を具体的に役立てて欲しいと意図していたとも思われる。

代数学

『ビージャガニタ』（代数学）は12章からなる。正の数に（正と負の）2つの平方根があることを初めて示した文書である。次のような内容を含む。

• 正数と負数
• ゼロ
• 未知数
• 未知の数量の決定
• 冪根と無理数
• クッタカ法（不定方程式およびディオファントス方程式の解法）
• 単純な方程式（二次、三次、四次）
• 複数の変数のある単純な方程式
• 不定二次方程式（ax² + b = y² という形式のもの）
• 二次、三次、四次の不定方程式の解法
• 二次方程式
• 複数の変数のある二次方程式
• 複数の変数の積の操作

バースカラ2世は ax² + bx + c = y という形式の不定二次方程式の解法としてチャクラバーラ法を導き出した。ペル方程式と呼ばれる Nx² + 1 = y² という形式の問題の整数解を求めるバースカラ2世の方法も重要である（こちらもチャクラバーラ法）。

三角法

『シッダーンタ・シローマニ』（1150年）では、三角法を扱っており、正弦関数の数表や各種三角関数の関係も記している。また、いくつかの興味深い三角法に混じって球面三角法も発見している。バースカラ2世以前のインドの数学者は三角法を計算の道具としか見ていなかったが、バースカラ2世自身は三角法に大きな興味を持っていたように思われる。三角関数の加法定理といわれる ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$ や ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$ なども扱っている。

微分積分学

『シッダーンタ・シローマニ』は天文学を中心に扱っているが、それ以前の著作にはない様々な理論が含まれている。特に、いくつかの三角法の成果に沿った微分法や解析学の基本概念、積分法の考え方などが見られる。

その著作から、バースカラ2世は微分法のいくつかの考え方を知っていたと見られている。しかし、それら成果の使い方を理解していなかったと見られ、そのために数学史家からは一般に無視されている。バースカラ2世は関数の極値で微分係数がゼロになることを示唆しており、無限小の概念を知っていたことを示している^[28]。

• ロルの定理の原型が著作に見られる。
  • ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)=0}$ であるとき、${\displaystyle \ a<x<b}$ という範囲のある ${\displaystyle \ x}$ で ${\displaystyle f'\left(x\right)=0}$ となる。
• ${\displaystyle x\approx y}$ なら ${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$ となるという結果を得ている。正弦関数の導関数を見つけたことになるが、それを微分として一般化しようとしていない^[29]。
  • バースカラ2世は黄道上の位置角を求めるのに使っている。これは、食が起きる時刻を正確に予測するのに必要だった。
• 惑星の瞬間的な運行を計算するにあたって、惑星の位置を1⁄33750秒以下の間隔で測定しており、このような無限小の時間単位で速度を測定していた。
• 彼は、変数が極大値となったとき微分係数が消える（ゼロになる）ことに気づいていた。
• また、惑星が地球から最も遠い位置にあるとき、あるいは最も近い位置にあるとき、惑星が見かけ上一定速度で運行すると仮定して計算した位置と実際の位置の差がゼロになることを示した。そこで彼は、その差分を示す式と実際の運行の差がゼロになる点が中間に存在すると結論付けた。これは解析学の最重要な定理である平均値の定理の考え方と同じであり、今日ではロルの定理から導き出すのが一般的である。平均値の定理は15世紀、バースカラ2世の『リーラーヴァティ』の注釈本であるパラメーシュヴァラ (Parameshvara) の Lilavati Bhasya で発見されている。

マーダヴァ（1340年 - 1425年）と14世紀から16世紀にかけてのケーララ学派 の数学者ら（パラメーシュヴァラを含む）は、バースカラ2世の業績を発展させ、インドにおける微分積分学を発展させていった。