実数の構成

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実数の公理的定義とは、実数を完備順序体の要素として定義することである。これは以下のことを意味する。実数は集合（通常 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ と表記される）をなし、0 と 1 と呼ばれる区別された2つの要素を含み、その集合上には2つの二項演算と1つの二項関係が定義されている。演算は実数の「加法」および「乗法」と呼ばれ、それぞれ ${\displaystyle +}$ および ${\displaystyle \times }$ で表される。二項関係は「不等式」であり、${\displaystyle \leq }$ で表される。さらに、公理と呼ばれる以下の性質を満たさなければならない。

このような数学的構造の存在は一つの定理であり、そのような構造を構成することによって証明される。公理からの帰結として、この構造は同型を除いて一意であり、したがって実数は構成方法に言及することなく利用し、操作することができる。

1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ は加法と乗法に関して体である。換言すれば、
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x,y,z}$ に対して、${\displaystyle x+(y+z)=(x+y)+z}$ および ${\displaystyle x\times (y\times z)=(x\times y)\times z}$ （加法と乗法の結合法則）。
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x,y}$ に対して、${\displaystyle x+y=y+x}$ および ${\displaystyle x\times y=y\times x}$ （加法と乗法の交換法則）。
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x,y,z}$ に対して、${\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}$ （加法に対する乗法の分配法則）。
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x}$ に対して、${\displaystyle x+0=x}$ （加法単位元の存在）。
   • 0 は 1 と等しくなく、${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x}$ に対して、${\displaystyle x\times 1=x}$ （乗法単位元の存在）。
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x}$ に対して、${\displaystyle x+(-x)=0}$ を満たす要素 ${\displaystyle -x}$ が ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内に存在する（加法逆元の存在）。
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内の 0 でないすべての ${\displaystyle x}$ に対して、${\displaystyle x\times x^{-1}=1}$ を満たす要素 ${\displaystyle x^{-1}}$ が ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内に存在する（乗法逆元の存在）。
2. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ は ${\displaystyle \leq }$ に関して全順序集合である。換言すれば、
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x}$ に対して、${\displaystyle x\leq x}$ （反射律）。
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x,y}$ に対して、もし ${\displaystyle x\leq y}$ かつ ${\displaystyle y\leq x}$ ならば、${\displaystyle x=y}$ （反対称律）。
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x,y,z}$ に対して、もし ${\displaystyle x\leq y}$ かつ ${\displaystyle y\leq z}$ ならば、${\displaystyle x\leq z}$ （推移律）。
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x,y}$ に対して、${\displaystyle x\leq y}$ または ${\displaystyle y\leq x}$ （全順序性）。
3. 加法と乗法は順序と両立する。換言すれば、
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x,y,z}$ に対して、もし ${\displaystyle x\leq y}$ ならば、${\displaystyle x+z\leq y+z}$ （加法による順序の保存）。
   • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x,y}$ に対して、もし ${\displaystyle 0\leq x}$ かつ ${\displaystyle 0\leq y}$ ならば、${\displaystyle 0\leq x\times y}$ （乗法による順序の保存）。
4. 順序 ${\displaystyle \leq }$ は以下の意味で「完備」である：上に有界な ${\displaystyle \mathbb {R} }$ の空でない任意の部分集合は、最小上界（上限）を持つ。換言すれば、
   • もし ${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle \mathbb {R} }$ の空でない部分集合であり、かつ ${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内に上界を持つならば、${\displaystyle A}$ は最小上界 ${\displaystyle u}$ を持ち、${\displaystyle A}$ のすべての上界 ${\displaystyle v}$ に対して ${\displaystyle u\leq v}$ が成り立つ。

順序がデデキント完備であることを要求する公理4は、アルキメデス性を包含する（ただし逆は必ずしも真ではない）。

この公理は実数の特徴付けにおいて極めて重要である。例えば、有理数の全順序体 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ は最初の3つの公理を満たすが、第4の公理は満たさない。言い換えれば、有理数のモデルは最初の3つの公理のモデルでもある。

この公理は、個々の実数だけでなく実数の集合に関する言明を表しているため、一次論理では記述できない（Nonfirstorderizability）ことに注意が必要である。そのため、実数は一次論理の理論によって与えられるものではない。

「実数のモデル」とは、上記の公理を満たす数学的構造のことである。 後述の明示的な構成法において、いくつかのモデルが示される。任意の2つのモデルは同型である。したがって、実数は同型を除いて一意である。

任意の2つのモデルが同型であるということは、任意の2つのモデル ${\displaystyle (\mathbb {R} ,0_{\mathbb {R} },1_{\mathbb {R} },+_{\mathbb {R} },\times _{\mathbb {R} },\leq _{\mathbb {R} })}$ と ${\displaystyle (S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S})}$ に対して、体の演算と順序の両方を保存する全単射 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to S}$ が存在することを意味する。明示的には以下の通りである。

• ${\displaystyle f}$ は単射かつ全射である。
• ${\displaystyle f(0_{\mathbb {R} })=0_{S}}$ および ${\displaystyle f(1_{\mathbb {R} })=1_{S}}$。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x,y}$ に対して、${\displaystyle f(x+_{\mathbb {R} }y)=f(x)+_{S}f(y)}$ および ${\displaystyle f(x\times _{\mathbb {R} }y)=f(x)\times _{S}f(y)}$。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内のすべての ${\displaystyle x,y}$ に対して、${\displaystyle x\leq _{\mathbb {R} }y}$ であることと ${\displaystyle f(x)\leq _{S}f(y)}$ であることは同値である。

実数とその算術に関する別の総合的な公理化がアルフレト・タルスキによって与えられた。これは、以下に示すわずか8つの公理と、4つの原始概念のみで構成されている。その概念とは、「実数」と呼ばれる集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$、「順序」と呼ばれる ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上の二項関係（中置演算子 < で表記）、「加法」と呼ばれる ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上の二項演算（中置演算子 + で表記）、および定数 1 である。

順序の公理（原始概念：${\displaystyle \mathbb {R} }$, <）: 公理 1. もし ${\displaystyle x<y}$ ならば、${\displaystyle y<x}$ ではない。すなわち、"<" は非対称関係である。 公理 2. もし ${\displaystyle x<z}$ ならば、${\displaystyle x<y}$ かつ ${\displaystyle y<z}$ となる ${\displaystyle y}$ が存在する。換言すれば、"<" は ${\displaystyle \mathbb {R} }$ において稠密である。 公理 3. "<" はデデキント完備である。より形式的には、すべての ${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {R} }$ に対して、もしすべての ${\displaystyle x\in X}$ および ${\displaystyle y\in Y}$ について ${\displaystyle x<y}$ ならば、すべての ${\displaystyle x\in X}$ および ${\displaystyle y\in Y}$ に対して、${\displaystyle z\neq x}$ かつ ${\displaystyle z\neq y}$ であれば ${\displaystyle x<z}$ かつ ${\displaystyle z<y}$ となるような ${\displaystyle z}$ が存在する。

上記の言明を明確にするために、${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ および ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {R} }$ とする。ここで、目的に合わせて2つの用語を定義する。

${\displaystyle X}$ が ${\displaystyle Y}$ に「先行する」とは、すべての ${\displaystyle x\in X}$ およびすべての ${\displaystyle y\in Y}$ に対して ${\displaystyle x<y}$ が成り立つことをいう。

実数 ${\displaystyle z}$ が ${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ を「分離する」とは、${\displaystyle x\neq z}$ であるすべての ${\displaystyle x\in X}$ および ${\displaystyle y\neq z}$ であるすべての ${\displaystyle y\in Y}$ に対して、${\displaystyle x<z}$ かつ ${\displaystyle z<y}$ が成り立つことをいう。

このとき、公理3は次のように述べることができる。

「実数の集合が別の実数の集合に先行するならば、その2つの集合を分離する実数が少なくとも1つ存在する。」

加法の公理（原始概念：${\displaystyle \mathbb {R} }$, <, +）: 公理 4. ${\displaystyle x+(y+z)=(x+z)+y}$。 公理 5. すべての ${\displaystyle x,y}$ に対して、${\displaystyle x+z=y}$ となる ${\displaystyle z}$ が存在する。 公理 6. もし ${\displaystyle x+y<z+w}$ ならば、${\displaystyle x<z}$ または ${\displaystyle y<w}$ である。

単位元 1 の公理（原始概念：${\displaystyle \mathbb {R} }$, <, +, 1）: 公理 7. ${\displaystyle 1\in \mathbb {R} }$。 公理 8. ${\displaystyle 1<1+1}$。

これらの公理は、${\displaystyle \mathbb {R} }$ が加法の下で 1 を区別された要素とする線形順序アーベル群であることを含意している。また、${\displaystyle \mathbb {R} }$ はデデキント完備であり、かつ可除群である。

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公理のいかなるモデルも同型であることの証明はここでは行わない。そのような証明は、現代の解析学や集合論の多くの教科書に見ることができる。しかし、数学的および歴史的な理由から重要であるいくつかの構成法の基本的な定義と性質の概略を述べる。最初の3つ（ゲオルク・カントール、シャルル・メレイ、リヒャルト・デデキント、ジョゼフ・ベルトラン、カール・ワイエルシュトラスによるもの）は、いずれも数年の間に相次いで発表された。それぞれに長所と短所がある。

${\displaystyle R}$ を有理数のコーシー列の集合とする。すなわち、有理数の列

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}$

であって、任意の有理数 ${\displaystyle \epsilon >0}$ に対して整数 ${\displaystyle N}$ が存在し、すべての自然数 ${\displaystyle m,n>N}$ について ${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\epsilon }$ が成り立つものの集合である。ここで垂直の棒は絶対値を表す。

コーシー列 ${\displaystyle (x_{n})}$ と ${\displaystyle (y_{n})}$ の加法と乗法は、次のように定義できる。

${\displaystyle (x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})}$

${\displaystyle (x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n})}$

2つのコーシー列 ${\displaystyle (x_{n})}$ と ${\displaystyle (y_{n})}$ は、それらの差がゼロに収束する場合に限り「同値」であるとされる。すなわち、任意の有理数 ${\displaystyle \epsilon >0}$ に対して整数 ${\displaystyle N}$ が存在し、すべての自然数 ${\displaystyle n>N}$ について ${\displaystyle |x_{n}-y_{n}|<\epsilon }$ が成り立つことである。

これは上記の演算と両立する同値関係を定義し、すべての同値類の集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ は実数のすべての公理を満たすことが示される。有理数 ${\displaystyle r}$ をコーシー列 ${\displaystyle (r,r,r,\dots )}$ の同値類と同一視することで、 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ は ${\displaystyle \mathbb {R} }$ の部分集合と見なすことができる。

実数間の比較は、コーシー列間の以下の比較を定義することで得られる。 ${\displaystyle (x_{n})\geq (y_{n})}$ であるとは、 ${\displaystyle x}$ が ${\displaystyle y}$ と同値であるか、あるいはある整数 ${\displaystyle N}$ が存在してすべての ${\displaystyle n>N}$ に対して ${\displaystyle x_{n}\geq y_{n}}$ が成り立つことである。

この構成により、すべての実数 ${\displaystyle x}$ は有理数のコーシー列によって表される。この表現は決して一意ではない。 ${\displaystyle x}$ に収束する任意の有理数列は、 ${\displaystyle x}$ を表すコーシー列である。これは、同じ実数を近似するために、しばしば異なる数列を使用できるという観察を反映している^[2]。

定義から容易に導かれない唯一の実数の公理は、 ${\displaystyle \leq }$ の完備性、すなわち最小上界性である。これは次のように証明できる。 ${\displaystyle S}$ を ${\displaystyle \mathbb {R} }$ の空でない部分集合とし、 ${\displaystyle U}$ を ${\displaystyle S}$ の一つの上界とする。必要に応じてより大きな値に置き換えることで、 ${\displaystyle U}$ は有理数であると仮定してよい。 ${\displaystyle S}$ は空ではないので、ある ${\displaystyle s\in S}$ に対して ${\displaystyle L<s}$ となるような有理数 ${\displaystyle L}$ を選ぶことができる。ここで、有理数列 ${\displaystyle (u_{n})}$ と ${\displaystyle (l_{n})}$ を次のように定義する。

${\displaystyle u_{0}=U}$ および ${\displaystyle l_{0}=L}$ と置く。各 ${\displaystyle n}$ に対して、次の数

${\displaystyle m_{n}=(u_{n}+l_{n})/2}$

を考える。もし ${\displaystyle m_{n}}$ が ${\displaystyle S}$ の上界であれば、 ${\displaystyle u_{n+1}=m_{n}}$ および ${\displaystyle l_{n+1}=l_{n}}$ と置く。そうでなければ、 ${\displaystyle l_{n+1}=m_{n}}$ および ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}}$ と置く。

これは2つの有理数のコーシー列を定義し、したがって実数 ${\displaystyle l=(l_{n})}$ および ${\displaystyle u=(u_{n})}$ を定める。 ${\displaystyle n}$ に関する数学的帰納法により、すべての ${\displaystyle n}$ について ${\displaystyle u_{n}}$ は ${\displaystyle S}$ の上界であり、いかなる ${\displaystyle n}$ についても ${\displaystyle l_{n}}$ は ${\displaystyle S}$ の上界ではないことを証明するのは容易である。

したがって ${\displaystyle u}$ は ${\displaystyle S}$ の上界である。それが最小上界であることを確認するには、 ${\displaystyle (u_{n}-l_{n})}$ の極限が 0 であり、したがって ${\displaystyle l=u}$ であることに注目すればよい。ここで、 ${\displaystyle b<u=l}$ となるより小さな上界 ${\displaystyle b}$ が ${\displaystyle S}$ に存在すると仮定する。 ${\displaystyle (l_{n})}$ は単調増加であるため、ある ${\displaystyle n}$ に対して ${\displaystyle b<l_{n}}$ となることが容易にわかる。しかし ${\displaystyle l_{n}}$ は ${\displaystyle S}$ の上界ではないため、 ${\displaystyle b}$ も上界ではありえない。ゆえに ${\displaystyle u}$ は ${\displaystyle S}$ の最小上界であり、 ${\displaystyle \leq }$ は完備である。

通常の十進法による表記は、自然な方法でコーシー列に変換できる。例えば、 ${\displaystyle \pi =3.1415\dots }$ という表記は、 ${\displaystyle \pi }$ がコーシー列 ${\displaystyle (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,\dots )}$ の同値類であることを意味する。等式 ${\displaystyle 0.999\dots =1}$ は、数列 ${\displaystyle (0,0.9,0.99,0.999,\dots )}$ と ${\displaystyle (1,1,1,1,\dots )}$ が同値であること、すなわちそれらの差が 0 に収束することを述べている。

${\displaystyle \mathbb {Q} }$ の完備化として ${\displaystyle \mathbb {R} }$ を構成することの利点は、この手法が任意の距離空間の完備化に適用できる点にある。その際、 ${\displaystyle |x-y|}$ をすべて距離空間の距離 ${\displaystyle d(x,y)}$ に置き換えればよい。特に、 ${\displaystyle p}$-進数の体は、他の絶対値である ${\displaystyle p}$-進絶対値に関する有理数の完備化として定義できる。

順序体におけるデデキント切断とは、その集合の分割 ${\displaystyle (A,B)}$ であって、 ${\displaystyle A}$ は空でなく下方に閉じており、 ${\displaystyle B}$ は空でなく上方に閉じており、かつ ${\displaystyle A}$ が最大元を持たないようなものである。実数は有理数のデデキント切断として構成できる^[3][4]。

便宜上、下組 ${\displaystyle A}$ が上組 ${\displaystyle B}$ を完全に決定するため、下組 ${\displaystyle A}$ を任意のデデキント切断 ${\displaystyle (A,B)}$ の代表元として採用することができる。これにより、直感的には実数を「それより小さいすべての有理数の集合」によって表されるものと考えることができる。詳しく言えば、実数 ${\displaystyle r}$ とは、以下の条件を満たす有理数の集合 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ の任意の部集合である^[5]。

1. ${\displaystyle r}$ は空ではない
2. ${\displaystyle r\neq \mathbb {Q} }$
3. ${\displaystyle r}$ は下方に閉じている。換言すれば、 ${\displaystyle x<y}$ となるすべての ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }$ に対して、もし ${\displaystyle y\in r}$ ならば ${\displaystyle x\in r}$ である。
4. ${\displaystyle r}$ は最大元を持たない。換言すれば、すべての ${\displaystyle y\in r}$ に対して ${\displaystyle y\leq x}$ となるような ${\displaystyle x\in r}$ は存在しない。

• 実数の集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ を ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ のすべてのデデキント切断 ${\displaystyle A}$ の集合として形成し、実数上の全順序を次のように定義する： ${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}$。
• 有理数 ${\displaystyle q}$ を、それより小さいすべての有理数の集合 ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x<q\}}$ と同一視することにより、有理数を実数に埋め込む^[5]。有理数は稠密であるため、このような集合は最大元を持たず、したがって上記の実数の条件を満たす。
• 加法。 ${\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}}$^[5]。
• 減法。 ${\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in (\mathbb {Q} \setminus B)\}}$。ここで ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus B}$ は ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ における ${\displaystyle B}$ の相対補集合 ${\displaystyle \{x:x\in \mathbb {Q} \land x\notin B\}}$ を表す。
• 符号反転は減法の特殊なケースである： ${\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in (\mathbb {Q} \setminus B)\}}$。
• 乗法の定義はそれほど単純ではない^[5]。
  • ${\displaystyle A,B\geq 0}$ の場合、 ${\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathbb {Q} :x<0\}}$。
  • ${\displaystyle A}$ または ${\displaystyle B}$ のいずれかが負の場合、恒等式 ${\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)}$ を用いて ${\displaystyle A}$ および ${\displaystyle B}$ を正の数に変換し、上記の定義を適用する。
• 除法も同様に定義する。
  • ${\displaystyle A\geq 0}$ かつ ${\displaystyle B>0}$ の場合、 ${\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in (\mathbb {Q} \setminus B)\}}$。
  • ${\displaystyle A}$ または ${\displaystyle B}$ のいずれかが負の場合、恒等式 ${\displaystyle A/B=-(A/-B)=-(-A/B)=-A/-B}$ を用いて変換を行い、上記の定義を適用する。
• 上限。実数の空でない集合 ${\displaystyle S}$ が ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内に上界を持つならば、 ${\displaystyle S}$ は ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 内に最小上界を持ち、それは ${\displaystyle \bigcup S}$ に等しい^[5]。

無理数を表すデデキント切断の例として、2の正の平方根を挙げる。これは集合 ${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {Q} :x<0\lor x\times x<2\}}$ によって定義できる^[6]。上記の定義から、 ${\displaystyle A}$ が実数であること、および ${\displaystyle A\times A=2}$ であることがわかる。しかし、いずれの主張も自明ではない。 ${\displaystyle A}$ が実数であることを示すには、 ${\displaystyle A}$ が最大元を持たないこと、すなわち ${\displaystyle x\times x<2}$ である任意の正の有理数 ${\displaystyle x}$ に対して、 ${\displaystyle x<y}$ かつ ${\displaystyle y\times y<2}$ となる有理数 ${\displaystyle y}$ が存在することを示す必要がある。これには ${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}}$ という選択が有効である。また ${\displaystyle A\times A\leq 2}$ は明らかだが、等号を示すには、 ${\displaystyle r<2}$ である任意の有理数 ${\displaystyle r}$ に対して、 ${\displaystyle r<x\times x}$ となるような ${\displaystyle A}$ 内の正の数 ${\displaystyle x}$ が存在することを示す必要がある。

この構成法の利点は、各実数が一意な切断に対応することである。さらに、切断の定義の最初の2つの要件を緩和することで、空集合に ${\displaystyle -\infty }$ を、 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 全体に ${\displaystyle \infty }$ を対応させることにより、拡張実数系を得ることができる。

超実数と同様に、超フィルターを用いて有理数から超有理数 ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {Q} }$ を構成する。ここで、超有理数は定義により2つの超整数の比である。 ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {Q} }$ におけるすべての限定的な（すなわち有限の）要素の環 ${\displaystyle B}$ を考える。すると、 ${\displaystyle B}$ は唯一の極大イデアル ${\displaystyle I}$ （無限小な超有理数）を持つ。剰余環 ${\displaystyle B/I}$ が実数の体 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ を与える^[7]。この構成は自然数集合上の非単項超フィルターを使用しており、その存在は選択公理によって保証される。

この極大イデアルが ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {Q} }$ 上の順序を尊重することが示される。したがって、得られる体は順序体である。完備性は、コーシー列による構成と同様の方法で証明できる。

任意の順序体は超現実数（Surreal numbers）に埋め込むことができる。実数は、アルキメデス的（無限大や無限小の実数が存在しないことを意味する）な最大の部分体をなす。この埋め込みは一意ではないが、標準的な方法で選択することができる。

比較的知られていない構成法として、整数の加法群 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ のみを用いて実数を定義する方法がある^[8][9][10]。この構成は、ステファン・シャヌエルの未発表の仕事に帰せられるもので、Arthan (2004)はこの構成を古代ギリシャの天文学者・数学者のクニドスのエウドクソスにちなんで「エウドクソスの実数」と呼んでいる。Shenitzer (1987)やArthan (2004)が指摘するように、比の振る舞いを用いて量を扱うエウドクソスの手法が、この構成の基礎となっている。この構成がデデキント完備な順序体を与えることは、IsarMathLibプロジェクトによって形式的に検証されている^[11]。

集合 ${\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}}$ が有限集合である（あるいは同値だが ${\displaystyle f(n+m)-f(m)-f(n)}$ が有界である）ような写像 ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ を、概準同型（almost homomorphism）と呼ぶ。（なお、すべての ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ に対して ${\displaystyle f(n)=\lfloor \alpha n\rfloor }$ は概準同型である。）概準同型は点ごとの加法の下でアーベル群をなす。2つの概準同型 ${\displaystyle f,g}$ は、集合 ${\displaystyle \{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}}$ が有限である（あるいは同値だが ${\displaystyle f(n)-g(n)}$ が有界である）とき、概等しい（almost equal）という。これは概準同型の集合上の同値関係を定義する。実数は、この関係による同値類として定義される。あるいは、有限個の値しか取らない概準同型は部分群をなし、実数の下位の加法群はその剰余群である。このように定義された実数を加算するには、それらを代表する概準同型を加算する。実数の乗法は、概準同型の写像としての合成に対応する。 ${\displaystyle [f]}$ が概準同型 ${\displaystyle f}$ によって表される実数であるとき、 ${\displaystyle f}$ が有界であるか、または ${\displaystyle f}$ が ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 上で無限個の正の値を取るならば ${\displaystyle 0\leq [f]}$ と定義する（これは、 ${\displaystyle f}$ が上界を持たない場合に ${\displaystyle 0<[f]}$ となることと同値である）。これにより、このように構成された実数集合上の線形順序関係が定義される。

Faltin et al. (1975)は次のように記している。「実数ほど、多くの改訂を経て、あるいは多くの姿で提示されてきた数学的構造はほとんどない。あらゆる世代が、自らの価値観や数学的目的に照らして実数を再検討している。」^[12]

その他にも、以下のような人々によって多くの構成法が与えられている。

• de Bruijn (1976), de Bruijn (1977)
• Rieger (1982)
• Knopfmacher & Knopfmacher (1987), Knopfmacher & Knopfmacher (1988)

概要については Weiss (2015) を参照。

ある書評家は次のように述べている。「詳細はすべて含まれているが、例によってそれらは退屈で、あまり教訓的ではない。」^[13]