積分方程式

ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、${\displaystyle \mathbf {M} }$ を行列、${\displaystyle \mathbf {v} }$ を固有ベクトル、${\displaystyle \lambda }$ を対応する固有値として、

${\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}^{}}$

と書くことができる。

添字 ${\displaystyle i}$、${\displaystyle j}$ を連続変数 ${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$ で置き換えて連続極限を取ると、${\displaystyle j}$ に関する総和は ${\displaystyle y}$ に関する積分、行列 ${\displaystyle M_{i,j}}$ とベクトル ${\displaystyle v_{j}}$ はそれぞれ積分核 ${\displaystyle K(x,y)}$ と固有関数 ${\displaystyle \varphi (y)}$ に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式

${\displaystyle \int \mathrm {d} y\,K(x,y)\varphi (y)=\lambda \varphi (x)}$

が得られる。

一般に、${\displaystyle K(x,y)}$ は超関数であってもよい。超関数 ${\displaystyle K}$ が ${\displaystyle x=y}$ でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。