ペティス積分 From Wikipedia, the free encyclopedia 数学の分野におけるペティス積分（ペティスせきぶん、英: Pettis integral）あるいはゲルファント-ペティス積分（イズライル・ゲルファントとビリー・ジェームス・ペティス（英語版）の名にちなむ）とは、双対性を利用することによって、バナッハ空間に値を取るような測度空間上の関数へとルベーグ積分の定義を拡張したものである。測度空間がルベーグ測度を備える区間であるような場合に対して、ゲルファントによって導入された。強積分であるボホナー積分と区別されて、弱積分と呼ばれることもある。 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} を測度空間、 B {\displaystyle B} をバナッハ空間とし、 f : X → B {\displaystyle f:X\to B} および E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } を定める。次を満たすような A ∈ B {\displaystyle A\in B} が存在するとき、それを f {\displaystyle f} の E {\displaystyle E} についてのペティス積分と呼ぶ： ⟨ v , A ⟩ = ∫ E ⟨ v , f ( t ) ⟩ d μ ( t ) ∀ v ∈ B ′ . {\displaystyle \langle v,A\rangle =\int _{E}\langle v,f(t)\rangle \,d\mu (t)\ \ \forall v\in B'.} 但し B ′ {\displaystyle B'} は B {\displaystyle B} の双対空間とする。このような A {\displaystyle A} は次のように表記される： A = ∫ E f ( t ) d μ ( t ) . {\displaystyle A=\int _{E}f(t)\,d\mu (t).} 関連項目 ベクトル測度 弱可測関数 バーコフ積分 参考文献 J. K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. Fulltext I.M. Gel'fand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202 M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984) Sobolev, V. I. (2001) [1994], “Pettis integral”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press 表話編歴積分積分法 リーマン ルベーグ バーキル（英語版） ボホナー ダニエル ダルブー（英語版） HK マクシェイン 不変 ヘリンガー（英語版） ヒンチン（英語版） コルモゴロフ（英語版） LS ペティス プフェッファー（英語版） RS 方正 計算法 部分積分 置換積分 逆函数の積分（英語版） 積分の順序（英語版） 三角函数置換（英語版） 部分分数分解を通じた積分（英語版） 漸化式による積分 媒介変数微分を用いた積分（英語版） オイラーの公式を用いた積分（英語版） 積分記号下の微分（英語版） 複素線積分 広義積分 ガウス積分 ガンマ関数 確率積分 伊藤積分（英語版） ストラトノヴィッチ積分（英語版） スコロホッド積分（英語版） 数値積分 台形公式 ガウス求積 ガウス＝クロンロッド求積法 二重指数関数型数値積分公式 積分方程式 フレドホルム積分方程式 ヴォルテラ積分方程式 表話編歴関数解析学集合 / 部分集合のタイプ 均衡 星状 絶対凸 凸 併呑 有界（英語版） 放射状（英語版） 対称（英語版） 線型錐（部分集合） 凸錐（部分集合） 線型位相空間のタイプ バナッハ 樽型 界相 Brauner（英語版） F-空間 有限次元 フレシェ (tame) ヒルベルト LF空間 局所凸 マッキー（英語版） モンテル 核型 ノルム付き（ノルム） 準ノルム付き 回帰的 リース スミス（英語版） Stereotype（英語版） ウェブ付き 位相テンソル積（英語版）（ヒルベルト空間の（英語版）） 位相 双対 双対空間 作用素 強（極 作用素） Ultrastrong（英語版） 弱（作用素） Ultraweak（英語版） 一様収束（英語版） 線型作用素 随伴 双線型（形式） 有界 / 非有界 閉（英語版） 連続 / 不連続 コンパクト フレドホルム ヒルベルト＝シュミット 汎関数（正（英語版）） 正規 核 自己共役 Strictly singular（英語版） トレースクラス 転置 ユニタリ 集合の操作 代数的内部（核） 内部 ミンコフスキー和（英語版） 極 バナッハ環 C*-環 スペクトル（C*-環（英語版） 半径) スペクトル理論 定理 Eberlein–Šmulian（英語版） 開写像 角谷の不動点 ゲルファント＝マズール コーシー＝シュワルツの不等式 Goldstine（英語版） シャウダーの不動点 パーセヴァルの等式 ハーン–バナッハ（分離超平面） バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語版） Banach–Mazur（英語版） フロイデンタールのスペクトル 閉値域 閉グラフ ベッセルの不等式 マッキー＝アレンス マズールの補題 リースの拡張 Lomonosov's invariant subspace（英語版） ニュートン＝カントロビッチ 解析 ボホナー空間 フレシェ空間における微分（英語版） 微分（フレシェ ガトー 汎函数 holomorphic（英語版）） 積分（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス 方正 弱) 汎函数計算（Borel（英語版） continuous（英語版） holomorphic（英語版）） 逆函数定理（Nash–Moser theorem（英語版）） ベクトル測度 応用 量子力学の数学的定式化 有限要素法 偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算 日本人研究者 加藤敏夫 吉田耕作 藤田宏 増田久弥 海外の研究者 リース・フリジェシュ ステファン・バナフ ダフィット・ヒルベルト イズライル・ゲルファント ピーター・ラックス カテゴリ この項目は、解析学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。表示編集 Related Articles~TimelinesTop QsFact Checks
を測度空間、
をバナッハ空間とし、
および 
を定める。次を満たすような 
が存在するとき、それを 
の 
についてのペティス積分と呼ぶ：
は の双対空間とする。このような 
は次のように表記される：
