自由場

φ を作用素に値を持つ超函数とし、（クライン・ゴルドン）偏微分方程式を

${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +m^{2}\phi =0}$.

とする。これはボゾン場である。この超函数をペイエールのブラケット(Peierls bracket) Δ により与えられた超函数と言う。すると、

${\displaystyle \{\phi (x),\phi (y)\}=\Delta (x;y)}$

となる。ここに、φ は古典場で {,}（コンマ）ペイエールのブラケットである。

すると、正準交換関係 (CCR) は、

${\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,}$.

である。Δ が 2つの引数を持つ超函数であるので、乱されることがある。

同じことであるが、次の式も強調しておく。

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\}=-i\int d^{d}xf(x)g(x)}$

ここに ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ は時間順序積作用素で、f と g のサポートは空間的に(spacelike)に分離されていると

${\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=0}$

となる。

• 正規順序積
• ウィックの定理

• Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, Reading, 1995. p19-p29