静電エネルギー

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自由空間において電場 E があるとき、電場は体積あたりの密度で

${\displaystyle u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}}$

のエネルギーを持つ^[1]。このエネルギーが静電エネルギーであり、ある領域 V 内の静電エネルギーは積分

${\displaystyle U={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}{\boldsymbol {E}}^{2}\,d^{3}x}$

で定義される。

媒質がある場合には、電気変位 D により

${\displaystyle u=\int _{0}^{D}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {D}}}$

で与えられる^[2]。構成方程式を用いれば、誘電分極 P により

${\displaystyle u={\frac {\epsilon _{0}}{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}+\int _{0}^{P}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {P}}}$

となる。特に線形媒質の場合には

${\displaystyle u=\epsilon \int _{0}^{E}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {E}}={\frac {\epsilon }{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}}$

となる。

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場の時間変動がない場合は静電ポテンシャル φ により

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}{\boldsymbol {E}}\cdot \operatorname {grad} \phi \,d^{3}x\\&={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}\phi \,\operatorname {div} {\boldsymbol {E}}\,d^{3}x-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int _{V}\operatorname {div} (\phi {\boldsymbol {E}})\,d^{3}x\\&={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \,\phi \,d^{3}x-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\oint _{\partial V}(\phi {\boldsymbol {E}})\cdot d{\boldsymbol {S}}\\\end{aligned}}}$

と表される。境界でポテンシャルがゼロとする条件を課すことで第二項を落とせば

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\int \rho \,\phi \,d^{3}x}$

となる^[1]。 電位 φ_i の導体に電荷 q_i が充電されているとき

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\sum _{i}q_{i}\phi _{i}}$

である。静電容量を用いれば

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}C_{ij}\phi _{i}\phi _{j}}$

となる^[1]。

印加電圧 V で電荷 Q が充電されたコンデンサのもつ静電エネルギーは、二つの電極板で電荷が ${\displaystyle q_{1}=Q}$、${\displaystyle q_{2}=-Q}$、電位が ${\displaystyle \phi _{1}-\phi _{2}=V}$ であることから

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}(q_{1}\phi _{1}+q_{2}\phi _{2})={\frac {1}{2}}Q(\phi _{1}-\phi _{2})={\frac {1}{2}}QV}$

と導かれる。静電容量を用いれば

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$

となる。