Reguläres Polytop

Die oben angegebene Beschreibung der Regularität eines Polytops wird mathematisch wie folgt ausgedrückt. Ein ${\displaystyle n}$-dimensionales Polytop (${\displaystyle n>2}$) ist regulär, wenn seine ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionalen Zellen regulär sind und seine ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionalen Eckfiguren an jeder Ecke regulär sind. Dies impliziert, dass sowohl alle Zellen als auch alle Eckfiguren unter sich identisch sind.^[1.1] Diese Definition wird rekursiv angewendet. Wie oben beschrieben, werden dabei Polyeder als Polytope der Dimension ${\displaystyle n=3}$ betrachtet. Für Polytope der Dimension ${\displaystyle n=2}$, also für regelmäßige Polygone, wird die übliche Definition der Regularität verwendet: alle Seiten müssen gleich lang sein und alle Winkel an den Ecken müssen gleich sein.

Die Eckfigur ist eine Beschreibung der Umgebung einer Ecke eines Polytops. Die Forderung, dass die Eckfigur regulär sein muss, formalisiert daher die Bedingung, dass die Zellen um jede Ecke in identischer Weise angeordnet sind.

Reguläre Polytope werden vollständig durch ihr Schläfli-Symbol ${\displaystyle \left\{p,q,r,\ldots ,u,v,w\right\}}$ beschrieben. Dabei sind die Zellen eines Polytops durch das Schläfli-Symbol ${\displaystyle \left\{p,q,r,\ldots ,u,v\right\}}$ und die Eckfiguren durch das Schläfli-Symbol ${\displaystyle \left\{q,r,\ldots ,u,v,w\right\}}$ gegeben.^[1.2] Diese Beschreibung kann rekursiv angewendet werden: die Zellen der Zellen sind gegeben durch ${\displaystyle \left\{p,q,r,\ldots ,u\right\}}$ und die Eckfiguren der Eckfiguren durch ${\displaystyle \left\{r,\ldots ,u,v,w\right\}}$. Die Eckfigur der Eckfigur gibt an, wie die Zellen um eine Kante des Polytops angeordnet sind.^[1.3]

Beispielsweise wird das 8-Zell (das vierdimensionale Analogon des Würfels) durch das Schläfli-Symbol ${\displaystyle \left\{4,3,3\right\}}$ beschrieben. Es drückt aus, dass das 8-Zell aus Würfeln ${\displaystyle \left\{4,3\right\}}$ besteht. Die Eckfigur ist ein regelmäßiges Tetraeder ${\displaystyle \left\{3,3\right\}}$. Dies bedeutet, dass beim 8-Zell vier Würfel um eine Ecke angeordnet sind. Die vier Würfel entsprechen den vier Flächen des Tetraeders. Die Eckfigur der Eckfigur ${\displaystyle \left\{3\right\}}$ gibt an, dass um eine Kante des 8-Zells drei Würfel angeordnet sind. Die Zellen des Würfels ${\displaystyle \left\{4,3\right\}}$ sind Quadrate ${\displaystyle \left\{4\right\}}$. Die Eckfiguren des Würfels sind gleichseitige Dreiecke ${\displaystyle \left\{3\right\}}$, was ausdrückt, dass um eine Würfelecke drei Quadrate angeordnet sind. Die drei Quadrate entsprechen den drei Seiten des gleichseitigen Dreieckes.

Zu jedem regelmäßigen Polytop existiert ein duales Polytop. Dieses ist durch die Mittelpunkte der Zellen des Polytops gegeben.^[1.4] Geometrisch entspricht die Berechnung der zu einer ${\displaystyle d}$-dimensionalen Zelle eines Polytops dualen ${\displaystyle (n-d-1)}$-dimensionalen Zelle der Berechnung der Polaren der Zelle in Bezug auf eine ${\displaystyle (n-1)}$-Sphäre durch den Mittelpunkt des Polytops.^[1.4] Einer Ecke des Polytops (${\displaystyle d=0}$) entspricht daher eine ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale Zelle, einer Kante (${\displaystyle d=1}$) eine ${\displaystyle (n-2)}$-dimensionale Zelle, … und einer Zelle (${\displaystyle d=n-1}$) eine Ecke des dualen Polytops.

Das Schläfli-Symbol des zum Polytop ${\displaystyle \left\{p,q,r,\ldots ,u,v,w\right\}}$ dualen Polytops ist ${\displaystyle \left\{w,v,u,\ldots ,r,q,p\right\}}$, also das Schläfli-Symbol des Ausgangspolytops in umgekehrter Reihenfolge.^[1.5] Wenn das Schläfli-Symbol ein Palindrom darstellt, wenn also ${\displaystyle \left\{p,q,r,\ldots ,u,v,w\right\}=\left\{w,v,u,\ldots ,r,q,p\right\}}$ ist, ist das Polytop selbstdual.

Beispielsweise ist das duale Polytop des oben beschriebenen 8-Zells ${\displaystyle \left\{4,3,3\right\}}$ das 16-Zell ${\displaystyle \left\{3,3,4\right\}}$. Dieses besteht aus regelmäßigen Tetraedern ${\displaystyle \left\{3,3\right\}}$, den dualen Polyedern der Eckfiguren ${\displaystyle \left\{3,3\right\}}$ des 8-Zells. Das 16-Zell hat regelmäßige Oktaeder ${\displaystyle \left\{3,4\right\}}$ als Eckfiguren, die dualen Polyeder der Zellen ${\displaystyle \left\{4,3\right\}}$ des 8-Zells.

Reguläre vierdimensionale Polytope können erzeugt werden, indem als Zellen und Eckfiguren platonische Körper oder Kepler-Poinsot-Körper verwendet werden. Wenn sowohl die Zellen als auch die Eckfiguren platonische Körper sind, ergeben sich konvexe reguläre vierdimensionale Polytope. Sie stellen die Analoga der platonischen Körper im vierdimensionalen Raum dar. Wenn die Zellen oder Eckfiguren einen Kepler-Poinsot-Körper beinhalten, ergeben sich sternförmige reguläre vierdimensionale Polytope. Sie stellen die Analoga der Kepler-Poinsot-Körper im vierdimensionalen Raum dar.

Die konvexen regulären Polytope wurden von Ludwig Schläfli entdeckt und in seiner in den Jahren 1850–1852 entstandenen^[2][3] Arbeit Theorie der vielfachen Kontinuität vorgestellt.^[4.1][5.1] Die Arbeit wurde erst 1901, sechs Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht. In ihr beschrieb er auch alle Parkettierungen des vierdimensionalen euklidischen Raums, vier der zehn sternförmigen regulären vierdimensionalen Polytope und alle regulären höherdimensionalen Polytope und Parkettierungen. Edmund Hess entdeckte 1885 unabhängig von Schläfli alle zehn sternförmigen regulären vierdimensionalen Polytope.^[6]

Konvexe reguläre vierdimensionale Polytope

Es existieren sechs konvexe reguläre vierdimensionale Polytope.^[1.6] Sie sind in der folgenden Tabelle angegeben. Dabei sind ${\displaystyle N_{0}}$ die Anzahl der Ecken, ${\displaystyle N_{1}}$ die Anzahl der Kanten, ${\displaystyle N_{2}}$ die Anzahl der Flächen und ${\displaystyle N_{3}}$ die Anzahl der Zellen des Polytops. Außerdem enthält die Tabelle die Symmetriegruppe des Polytops sowie deren Ordnung. Letztere gibt an, wie viele vierdimensionale Kongruenzabbildungen es gibt, die das Polytop mit sich selbst zur Deckung bringen.

Wie oben beschrieben, lassen sich aus dem Schläfli-Symbol über die ersten zwei Zahlen die Zellen und über die letzten zwei Zahlen die Eckfiguren des jeweiligen vierdimensionalen Polytops ablesen. Die entsprechenden Schläfli-Symbole der platonischen Körper sind:

• ${\displaystyle \left\{3,3\right\}}$: Tetraeder
• ${\displaystyle \left\{4,3\right\}}$: Würfel
• ${\displaystyle \left\{3,4\right\}}$: Oktaeder
• ${\displaystyle \left\{5,3\right\}}$: Dodekaeder
• ${\displaystyle \left\{3,5\right\}}$: Ikosaeder

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Name	Schläfli-Symbol	${\displaystyle N_{0}}$	${\displaystyle N_{1}}$	${\displaystyle N_{2}}$	${\displaystyle N_{3}}$	Symmetriegruppe	${\displaystyle g}$	Abbildung
5-Zell	${\displaystyle \left\{3,3,3\right\}}$	5	10	10	5	${\displaystyle [3,3,3],A_{4}}$	120
8-Zell	${\displaystyle \left\{4,3,3\right\}}$	16	32	24	8	${\displaystyle [3,3,4],B_{4}}$	384
16-Zell	${\displaystyle \left\{3,3,4\right\}}$	8	24	32	16	${\displaystyle [3,3,4],B_{4}}$	384
24-Zell	${\displaystyle \left\{3,4,3\right\}}$	24	96	96	24	${\displaystyle [3,4,3],F_{4}}$	1152
120-Zell	${\displaystyle \left\{5,3,3\right\}}$	600	1200	720	120	${\displaystyle [3,3,5],H_{4}}$	14400
600-Zell	${\displaystyle \left\{3,3,5\right\}}$	120	720	1200	600	${\displaystyle [3,3,5],H_{4}}$	14400

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Sternförmige reguläre vierdimensionale Polytope

Es existieren zehn sternförmige reguläre vierdimensionale Polytope.^[1.7] Sie haben in der deutschsprachigen Literatur keine Namen, sondern werden durch ihre Schläfli-Symbole bezeichnet. Sie sind in der folgenden Tabelle angegeben. Dabei sind ${\displaystyle N_{0}}$ die Anzahl der Ecken, ${\displaystyle N_{1}}$ die Anzahl der Kanten, ${\displaystyle N_{2}}$ die Anzahl der Flächen und ${\displaystyle N_{3}}$ die Anzahl der Zellen des Polytops. Da alle die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,5]=H_{4}}$ mit der Ordnung 14400 besitzen, ist diese Information nicht in der Tabelle aufgelistet. Stattdessen ist die Dichte ${\displaystyle d}$ angegeben. Sie beschreibt, wie oft das Polytop durch seine Flächen überdeckt wird. Geometrisch bedeutet dies, wie viele Flächen ein Strahl vom Mittelpunkt des Polytops durchstoßen muss, um in sein Äußeres zu gelangen.^[1.8]

Wie oben beschrieben, lassen sich aus dem Schläfli-Symbol über die ersten zwei Zahlen die Zellen und über die letzten zwei Zahlen die Eckfiguren des jeweiligen vierdimensionalen Polytops ablesen. Zusätzlich zu den Schläfli-Symbolen der platonischen Körper werden hierzu die Schläfli-Symbole der Kepler-Poinsot-Körper benötigt. Diese sind:

• ${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},5\right\}}$: Dodekaederstern
• ${\textstyle \left\{5,{\frac {5}{2}}\right\}}$: Großes Dodekaeder
• ${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},3\right\}}$: Ikosaederstern
• ${\textstyle \left\{3,{\frac {5}{2}}\right\}}$: Großes Ikosaeder

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Schläfli-Symbol	${\displaystyle N_{0}}$	${\displaystyle N_{1}}$	${\displaystyle N_{2}}$	${\displaystyle N_{3}}$	${\displaystyle d}$	Abbildung
${\textstyle \left\{3,5,{\frac {5}{2}}\right\}}$	120	720	1200	120	4
${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},5,3\right\}}$	120	1200	720	120	4
${\textstyle \left\{5,{\frac {5}{2}},5\right\}}$	120	720	720	120	6
${\textstyle \left\{5,3,{\frac {5}{2}}\right\}}$	120	720	720	120	20
${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},3,5\right\}}$	120	720	720	120	20
${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},5,{\frac {5}{2}}\right\}}$	120	720	720	120	66
${\textstyle \left\{3,{\frac {5}{2}},5\right\}}$	120	720	1200	120	76
${\textstyle \left\{5,{\frac {5}{2}},3\right\}}$	120	1200	720	120	76
${\textstyle \left\{3,3,{\frac {5}{2}}\right\}}$	120	720	1200	600	191
${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},3,3\right\}}$	600	1200	720	120	191

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Die ersten neun Polytope in der Tabelle haben dieselben Ecken wie das 600-Zell; das zehnte Polytop hat dieselben Ecken wie das 120-Zell.^[1.9] Die folgenden Polytope haben dieselben Kanten:^[1.10]

• ${\textstyle \left\{3,3,5\right\}}$, ${\textstyle \left\{3,5,{\frac {5}{2}}\right\}}$, ${\textstyle \left\{5,{\frac {5}{2}},5\right\}}$, ${\textstyle \left\{5,3,{\frac {5}{2}}\right\}}$;
• ${\textstyle \left\{3,3,{\frac {5}{2}}\right\}}$, ${\textstyle \left\{3,{\frac {5}{2}},5\right\}}$, ${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},5,{\frac {5}{2}}\right\}}$, ${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},3,5\right\}}$;
• ${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},5,3\right\}}$, ${\textstyle \left\{5,{\frac {5}{2}},3\right\}}$.

Die folgenden Polytope haben dieselben Flächen:^[1.11]

• ${\textstyle \left\{3,3,5\right\}}$, ${\textstyle \left\{3,5,{\frac {5}{2}}\right\}}$;
• ${\textstyle \left\{5,{\frac {5}{2}},5\right\}}$, ${\textstyle \left\{5,3,{\frac {5}{2}}\right\}}$;
• ${\textstyle \left\{3,{\frac {5}{2}},5\right\}}$, ${\textstyle \left\{3,3,{\frac {5}{2}}\right\}}$;
• ${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},3,5\right\}}$, ${\textstyle \left\{{\frac {5}{2}},5,{\frac {5}{2}}\right\}}$.

Da in den Abbildungen nur die Ecken, Kanten und Flächen der Polytope dargestellt werden, haben die letzten drei Paare von Polytopen, die sich nur in ihren Zellen unterscheiden, dieselben Abbildungen in der Tabelle.

In Räumen der Dimension fünf oder höher existieren folgende reguläre Polytope:^[1.12]

• ${\displaystyle \left\{3,3,\ldots ,3,3\right\}}$: das reguläre n-Simplex,
• ${\displaystyle \left\{4,3,\ldots ,3,3\right\}}$: der n-dimensionale Hyperwürfel und
• ${\displaystyle \left\{3,3,\ldots ,3,4\right\}}$: das n-dimensionale Kreuzpolytop.

Sternförmige reguläre Polytope existieren in fünf oder mehr Dimensionen nicht.^[1.13]

Unter die regulären Polytope werden auch die Parkettierungen des Raums mit regulären Polytopen gerechnet. Diese können als degeneriertes Polytop mit unendlichem Radius in einem Raum einer Dimension höher als das parkettierende Polytop angesehen werden.

Im dreidimensionalen Raum gibt es folgende reguläre Parkettierung:^[1.14]

• ${\displaystyle \left\{4,3,4\right\}}$: die Parkettierung mit Würfeln.

Im vierdimensionalen Raum existieren folgende reguläre Parkettierungen:^[1.15]

• ${\displaystyle \left\{4,3,3,4\right\}}$: die Parkettierung mit 8-Zellen;
• ${\displaystyle \left\{3,3,4,3\right\}}$: die Parkettierung mit 16-Zellen;
• ${\displaystyle \left\{3,4,3,3\right\}}$: die Parkettierung mit 24-Zellen.

In Räumen der Dimension fünf oder höher gibt es folgende reguläre Parkettierung:^[1.16]

• ${\displaystyle \left\{4,3,\ldots ,3,4\right\}}$: die Parkettierung mit Hyperwürfeln.