Tesserakt

Konstruktion über Analogie zum Würfel

Eine Strecke kann dadurch konstruiert werden, dass ein Punkt entlang einer Geraden um einen Abstand ${\displaystyle a}$ verschoben wird. Ein Quadrat kann konstruiert werden, indem die Strecke in der zweiten Dimension senkrecht zur Strecke um den Abstand ${\displaystyle a}$ verschoben wird. Ein Würfel kann konstruiert werden, indem das Quadrat in der dritten Dimension senkrecht zur Ebene, in der das Quadrat liegt, um den Abstand ${\displaystyle a}$ verschoben wird. Analog dazu kann das 8-Zell konstruiert werden, indem der Würfel in der vierten Dimension senkrecht zum Raum, in dem der Würfel liegt, um den Abstand ${\displaystyle a}$ verschoben wird.^[2.5]

Diese Konstruktion ist im Video in diesem Abschnitt dargestellt. Zunächst werden eine eindimensionale Strecke und aus ihr ein zweidimensionales Quadrat konstruiert. Die Strecke und das Quadrat werden orthogonal in die Bildebene projiziert. Das Quadrat wird anschließend im dreidimensionalen Raum gedreht, um die Konstruktion des Würfels darstellen zu können. Es wird hierzu eine Orthogonalprojektion aus dem dreidimensionalen Raum verwendet. Durch die Drehung erscheint das Quadrat daher als Parallelogramm. Hierauf wird der dreidimensionale Würfel erzeugt. Er wird anschließend im vierdimensionalen Raum gedreht, um die Konstruktion des 8-Zells darstellen zu können. In Analogie zur Rotation des Quadrats wird der rotierte Würfel durch die Orthogonalprojektion aus dem vierdimensionalen Raum als Parallelepiped dargestellt. Hierauf wird das 8-Zell aus dem Würfel konstruiert.

Die Konstruktion zeigt, dass das 8-Zell aus 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadraten und 8 Würfeln besteht.^[2.5]

Konstruktion über kartesische Koordinaten

Ludwig Schläfli beweist die Existenz des 8-Zells durch Angabe seiner kartesischen Koordinaten und durch die Angabe der Hyperebenen, in denen die Zellen liegen. Die Ecken des 8-Zells sind gegeben durch:^{[5.3][6.3][2.6]}

• ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ (16 Punkte).

Die Koordinaten wurden so normiert, dass die Ecken auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Die Kanten der Würfel haben damit eine Länge von ${\textstyle 1}$.

Die Zellen (Würfel) des 8-Zells sind dadurch gegeben, dass das Vorzeichen einer seiner Koordinaten fixiert wird. Beispielsweise ist der Würfel in der Hyperebene ${\textstyle x_{1}={\frac {1}{2}}}$ durch die acht Ecken ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ gegeben. Die Ebenen, in denen die acht Würfel liegen, sind gegeben durch ${\textstyle x_{1}=\pm {\frac {1}{2}}}$, ${\textstyle x_{2}=\pm {\frac {1}{2}}}$, ${\textstyle x_{3}=\pm {\frac {1}{2}}}$ und ${\textstyle x_{4}=\pm {\frac {1}{2}}}$.^[5.3][6.3]

Auch diese Konstruktion zeigt, dass das 8-Zell aus 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadraten und 8 Würfeln besteht.^[5.3][6.3]

Aus der Koordinatendarstellung ergibt sich, dass die Ecken des 8-Zells entlang einer Diagonale zwischen zwei Würfelmittelpunkten zwei Schichten bilden, die jeweils 8 Ecken enthalten.^[21.3] Hieraus folgt, dass die Zellen entlang der Diagonalen drei Schichten von 1, 6, und 1 Würfeln bilden.^[22.1]

Visualisierung der Konstruktion des 8-Zells

Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 8-Zells aus den oben beschriebenen drei Schichten von Würfeln. Dabei werden die Würfel vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum, also in eine Hyperebene, projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(0,0,0,1)^{\top }}$. Die Projektion erfolgt in die ${\textstyle x_{1}x_{2}x_{3}}$-Hyperebene. Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.^[14.2]

Im ersten Teil des Videos werden die Würfel der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 8-Zells darzustellen. Die drei Schichten werden nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherige Schicht angrenzt, werden die Würfel nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Würfel rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 8-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.

Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Würfel. Da dieser in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die sieben zuvor eingeblendeten Würfel, wird er größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieser Würfel disjunkt zu allen übrigen.

Im Anschluss werden die Würfel undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Würfel und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Würfel deren Anzahl dargestellt.

Das Video visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 8-Zells.^[14.3][14.1] Diese geht von einem 8-Zell mit einem daraus entfernten Würfel aus, so dass die restlichen sieben Würfel über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Schlegel konstruiert die Zentralprojektion des 8-Zells explizit in der Abbildung 25 seiner Arbeit. Diese Abbildung entspricht im Video dem Zeitpunkt, an dem sieben Würfel eingeblendet wurden.

Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 8-Zells nach Einblendung aller drei Schichten. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 8-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. Die dritte Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Zentralprojektion des 8-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung. Die Abbildung am Anfang dieses Artikels, das dreidimensionale Modell und das Zometool-Modell stellen ein Schlegeldiagramm des 8-Zells dar.

Koordinatenstellungen des 8-Zells

In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet.^[21.4] Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle.^{[21.5][23][24][25][26][2.7]} Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt.^[2.7] Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine zellenzentrierte Zentralprojektion des 8-Zells.

Die im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten angegebenen Koordinaten des 8-Zells sind zellenzentriert. Sie lassen sich mit folgender Drehmatrix in eine flächenzentrierte Koordinatenstellung transformieren:^[21.6]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&1\\0&0&1&-1\\1&1&0&0\\1&-1&0&0\end{array}}\right).}$

Eine kantenzentrierte Koordinatenstellung wird erreicht über die Drehspiegelungsmatrix^[21.6]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&-1&1\\1&1&0&-1\\1&-1&1&0\end{array}}\right).}$

Eine eckenzentrierte Koordinatenstellung ergibt sich durch die Drehspiegelungsmatrix^[21.6]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\right).}$

Damit ergeben sich die eckenzentrierten Koordinaten des 8-Zells als:

• alle Permutationen von ${\textstyle (\pm 1,0,0,0)^{\top }}$ (8 Punkte) und
• ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)^{\top }}$ mit einer ungeraden Anzahl von Minuszeichen (8 Punkte).

Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 8-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert. In dieser Projektion werden in jeweils mehrere Ecken auf einen Punkt projiziert. Auf die roten Ecken werden jeweils zwei Ecken und auf die orangefarbene Ecke vier Ecken des 8-Zells projiziert. Die Abbildung visualisiert außerdem die projizierten Kanten des 8-Zells. Auch hier werden mehrere Kanten auf dieselbe Kante projiziert, was aber nicht durch Farben kodiert wird. Die Flächen und Zellen des 8-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt.

Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein dreidimensionales Modell einer Orthogonalprojektion des 8-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung in eine dreidimensionale Hyperebene. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. In dieser Projektion werden jeweils zwei Würfel des 8-Zells auf ein Rhomboeder projiziert. Die äußere Begrenzung der dreidimensionalen Orthogonalprojektion des 8-Zells ist ein Rhombendodekaeder.^[27.1]

Die Projektion eines Würfels in zellenzentrierter Koordinatenstellung in eine zweidimensionale Ebene ist ein Quadrat, dessen vier Seiten die degenerierten Projektionen von vier Quadraten des Würfels sind. Die vier Quadrate des Würfels sind parallel zur Projektionsrichtung ausgerichtet. Daher werden diese Quadrate jeweils auf eine Strecke projiziert. Das projizierte Quadrat selbst ist die Projektion der zwei Flächen des Würfels, die senkrecht zur Projektionsrichtung liegen. Diese entsprechen dem oberen und unteren Quadrat des Würfels. Analog dazu ist die Orthogonalprojektion des 8-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung in eine dreidimensionale Hyperebene ein Würfel. Die sechs Flächen des Würfels sind degenerierte Projektionen, bei denen jeweils ein Würfel des 8-Zells auf ein Quadrat projiziert wird. Der projizierte Würfel selbst ist die Projektion der übrigen zwei Zellen des 8-Zells, die auf denselben Würfel in der Hyperebene projiziert werden.

Visualisierung der Konstruktion des 8-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung

Das nebenstehende Video zeigt die Konstruktion des 8-Zells in einer eckenzentrierten Koordinatenstellung. Es ergeben sich zwei Schichten von jeweils vier Würfeln. Es wird eine Zentralprojektion vom Punkt ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(0,0,0,1)^{\top }}$ verwendet. Die Projektion erfolgt in die ${\textstyle x_{1}x_{2}x_{3}}$-Hyperebene.

Die beiden Schichten werden in unterschiedlichen Farben dargestellt und nacheinander eingeblendet. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Würfel und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Würfel deren Anzahl dargestellt. Im ersten Teil des Videos werden die Würfel transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 8-Zells darzustellen. Um zu zeigen, wie die Schichten aneinander grenzen, werden die Würfel nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Würfel rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 8-Zells zu visualisieren.

Eine Besonderheit ist bei der zweiten Schicht zu beachten. Die vier Würfel dieser Schicht besitzen jeweils einen Punkt im Projektionszentrum. Daher würden diese Punkte auf einen unendlich fernen Punkt projiziert. Um diese Unbestimmtheit zu vermeiden, werden sie stattdessen auf den Nullpunkt in der ${\textstyle x_{1}x_{2}x_{3}}$-Hyperebene projiziert. Dies hat zur Folge, dass die zweite Schicht scheinbar die erste Schicht durchdringt. Dies ist aber nur ein Artefakt der Projektion. Im vierdimensionalen Raum ist die zweite Schicht disjunkt zur ersten. Weiterhin ist zu beachten, dass durch das gewählte Projektionszentrum sieben der acht Ecken jedes Würfels der zweiten Schicht in eine Ebene projiziert werden. Die Würfel der zweiten Schicht erscheinen in der Projektion daher als Tetraeder, bei denen das große Dreieck in Vierecke unterteilt ist. Die übrigen Dreiecke des Tetraeders sind Vierecke, bei denen drei Ecken auf einer Geraden liegen. Topologisch besteht jedes Tetraeder daher aus sechs Vierecken, die die Projektionen der sechs Flächen eines Würfels darstellen.

Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein dreidimensionales Modell des 8-Zells, das dem Zustand nach Einblendung der der ersten Schicht von Würfeln entspricht. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.

Im Anschluss werden die Würfel undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt.

Die von Hand gezeichnete Abbildung 3 in der Arbeit von Stringham^[9.2] entspricht sinngemäß dem Zustand nach der Einblendung von vier Würfeln: beide visualisieren, dass an einer Ecke des 8-Zells vier Würfel aneinander grenzen.

Orthogonalprojektion des 8-Zells in ein regelmäßiges Achteck

Harold Scott MacDonald Coxeter hat eine Konstruktion des 8-Zells angegeben, die eine besonders symmetrische Orthogonalprojektion ergibt.^[2.8] Die Koordinatenstellung des 8-Zells ist dabei so gewählt, dass die Projektion in eine Ebene erfolgt, die durch die Mittelpunkte der Kanten eines Petrie-Polygons des 8-Zells definiert wird. Ein Petrie-Polygon ist für ein 4-Polytop dadurch definiert, dass drei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine vier, zu einem Petrie-Polygon einer Zelle des 4-Polytops gehören, also in diesem Fall zu einem Würfel.^[2.9] Ein Petrie-Polygon für ein Polyeder (eine Zelle) ist dadurch definiert, dass zwei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine drei, zu einer Fläche des Polyeders gehören.^[2.10] Obwohl ein Petrie-Polygon eines 4-Polytops ein räumliches Polygon ist, seine Ecken also nicht in einer Ebene liegen, liegen die Mittelpunkte seiner Kanten in einer Ebene. Diese Ebene wird als Coxeter-Ebene bezeichnet.

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Orthogonalprojektion des 8-Zells in seine Coxeter-Ebene. Dabei werden die Ecken und Kanten des 8-Zells dargestellt. Seine Flächen und Zellen werden nicht visualisiert. Im Vergleich zur oben dargestellten Orthogonalprojektion in eckenzentrierter Koordinatenstellung hat diese Projektion den Vorteil, dass die 16 Ecken des 8-Zells auf unterschiedliche Punkte in der Ebene projiziert werden, genauer gesagt auf zwei konzentrische regelmäßige Achtecke. Das äußere Achteck ist die Projektion eines Petrie-Polygons des 8-Zells. Ein weiteres Petrie-Polygon wird durch die Kanten, die die inneren acht Ecken verbinden, gebildet. In der Projektion erscheint dieses Petrie-Polygon als überschlagenes Achteck ${\textstyle \left\{{\frac {8}{3}}\right\}}$.

Die Würfel des 8-Zells lassen sich in dieser Projektion folgendermaßen erkennen: an jede Kante des äußeren Petrie-Polygons grenzt ein Quadrat an. Von einem bestimmten Quadrat ausgehend befindet sich zwei Schritte weiter im Uhrzeigersinn auf dem Petrie-Polygon ein dazu paralleles Quadrat. Die beiden Quadrate sind durch vier Kanten verbunden. Je zwei davon bilden mit zwei Kanten der parallelen Quadrate eine Raute. Zwischen den beiden parallelen Quadraten lassen sich vier Rauten identifizieren. Die zwei parallelen Quadrate und die vier Rauten sind die Projektion eines Würfels des 8-Zells. Sobald ein Würfel identifiziert wurde, ergeben sich die restlichen sieben durch Drehungen um Vielfache von 45° um den Mittelpunkt der Projektion des 8-Zells. Die Drehungen entsprechen einer Verschiebung entlang der Kanten des äußeren Petrie-Polygons.

Konstruktion des 8-Zells aus zwei Würfelringen

Aus den Abbildungen im Abschnitt Visualisierung der Konstruktion des 8-Zells ist ersichtlich, dass die vier Würfel, deren Zentralprojektion ein Pyramidenstumpf mit einem vertikal ausgerichteten Quadrat als Grundfläche ist, einen Ring aus vier Würfeln bilden. Dieser Ring ist topologisch ein Volltorus.^[22.2] Er ist in der ersten Abbildung in diesem Abschnitt dargestellt. Ein entsprechendes dreidimensionales Modell findet sich in der zweiten Abbildung in diesem Abschnitt. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.

In der Koordinatendarstellung, die im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten angegeben ist, liegen die vier Würfel des Rings in den Hyperebenen ${\textstyle x_{2}=\pm {\frac {1}{2}}}$ und ${\textstyle x_{3}=\pm {\frac {1}{2}}}$. Die übrigen vier Würfel liegen in den Ebenen ${\textstyle x_{1}=\pm {\frac {1}{2}}}$ und ${\textstyle x_{4}=\pm {\frac {1}{2}}}$. Sie stellen einen zweiten Würfelring dar.^[22.2] In der zellenzentrierten Zentralprojektion besteht er aus dem kleinen Würfel in der Mitte der Projektion, den beiden Pyramidenstümpfen mit horizontal ausgerichteten Grundflächen und dem großen Würfel, der die anderen Würfel umschließt. Die beiden Würfelringe sind im vierdimensionalen Raum disjunkt.

Die Mittelpunkte der Zellen des ersten Würfelrings sind gegeben durch ${\textstyle {\frac {1}{2}}(0,\pm 1,0,0)^{\top }}$ und ${\textstyle {\frac {1}{2}}(0,0,\pm 1,0)^{\top }}$.^[22.3] Sie bilden ein Quadrat in der ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$-Ebene.^[22.4] Analog dazu sind die Mittelpunkte der Zellen des zweiten Würfelrings gegeben durch ${\textstyle {\frac {1}{2}}(\pm 1,0,0,0)^{\top }}$ und ${\textstyle {\frac {1}{2}}(0,0,0,\pm 1)^{\top }}$. Sie bilden ein Quadrat in der ${\displaystyle x_{1}x_{4}}$-Ebene, die zur ersten Ebene komplett orthogonal ist. Die Quadrate der Zellenmittelpunkte der beiden Würfelringe bilden eine Hopf-Verschlingung.^[22.4] Daraus folgt, dass die beiden Würfelringe auch miteinander verschlungen sind. Der Aufbau des 8-Zells aus den zwei Würfelringen stellt daher eine diskrete Version der Hopf-Faserung dar.^[22.5] Da beide Würfelringe topologische Volltori sind, ist dies analog dazu, dass sich die 3-Sphäre aus zwei kongruenten Volltori zusammensetzen lässt.^[22.3][28.1]

Visualisierung der Konstruktion des 8-Zells aus zwei Würfelringen

Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 8-Zells aus zwei Würfelringen. Es wird eine Zentralprojektion vom Punkt ${\textstyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{\top }=(0,0,0,1)^{\top }}$ verwendet. Diese Projektion würde bei zellenzentrierter Koordinatenstellung dazu führen, dass einer der beiden Würfelringe in Projektionsrichtung ausgerichtet wäre. Die Zellenmittelpunkte lägen daher in der Projektion auf einer Geraden und der Ring erschiene als Säule.^[22.6] Daher wird das 8-Zell im vierdimensionalen Raum vor der Projektion um 45° in der ${\displaystyle x_{1}x_{4}}$-Ebene gedreht (also um die ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$-Ebene) und nach der Projektion um −45° um die ${\displaystyle x}$-Achse. Um möglichst gut zu veranschaulichen, dass die beiden Ringe eine Hopf-Verschlingung bilden, wird eine Visualisierungstechnik verwendet, die von Thomas Banchoff eingeführt wurde.^[22.7] Die Würfel werden in Richtung senkrecht zu ihren Achsen, die durch Kreise durch die jeweiligen Mittelpunkte der Zellen definiert sind, auf 20 Prozent ihrer eigentlichen Größe verkleinert. In Richtung der Achsen behalten sie ihre Originalgröße.

Die beiden Würfelringe werden nacheinander transparent und in unterschiedlichen Farben eingeblendet. Sie rotieren während des gesamten Videos, um ihre Geometrie möglichst gut darzustellen. Zum Ende des Videos werden die Ringe auf ihre tatsächliche Größe gebracht. Dies visualisiert, dass sie aneinander grenzen und den Raum lückenlos ausfüllen. Um das 8-Zell vollständig darstellen zu können, wird es hierzu zunächst im dreidimensionalen Raum geeignet verkleinert. Außerdem wird es im vierdimensionalen Raum und in der Projektion im dreidimensionalen Raum zurück in die zellenzentrierte Lage gedreht.

Charakteristisches Simplex des 8-Zells

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,4]}$ definiert ein charakteristisches Simplex des 8-Zells.^[32.1] Dieses ist ein Tetraeder, dessen Ecken durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ des 8-Zells, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{1}}$ einer an ${\displaystyle O_{0}}$ angrenzenden Kante, den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{2}}$ einer an ${\displaystyle O_{1}}$ angrenzenden Fläche und den Mittelpunkt ${\displaystyle O_{3}}$ einer an ${\displaystyle O_{2}}$ angrenzenden Zelle gegeben sind. Das charakteristische Simplex wird durch folgende Parameter beschrieben (hierbei ist ${\displaystyle \{p,q,r\}=\{4,3,3\}}$):^[2.14][2.15]

• den Winkel ${\displaystyle \phi }$ zwischen einer Geraden vom Mittelpunkt ${\displaystyle O_{4}}$ des 8-Zells durch eine Ecke ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{1}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \chi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{0}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$;
• den Winkel ${\displaystyle \psi }$ zwischen einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{3}}$ und einer Geraden von ${\displaystyle O_{4}}$ durch ${\displaystyle O_{2}}$;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /p=45^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{2}O_{3}}$ durch die Hyperebenen ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}O_{4}}$ und ${\displaystyle O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}}$ gebildet wird;
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /q=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{3}}$ durch die Hyperebenen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}O_{4}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{2}O_{3}O_{4}}$ gebildet wird; und
• den Diederwinkel ${\displaystyle \pi /r=60^{\circ }}$, der an der Kante ${\displaystyle O_{0}O_{1}}$ durch die Hyperebenen ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{2}O_{4}}$ und ${\displaystyle O_{0}O_{1}O_{3}O_{4}}$ gebildet wird.

Die Diederwinkel an den anderen drei Kanten sind rechte Winkel.

Das charakteristische Simplex kann auf die Einheitssphäre projiziert werden. Die projizierten Punkte ${\displaystyle P_{0}}$, ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ und ${\displaystyle P_{3}}$ definieren ein sphärisches Simplex, das auch als charakteristisches Simplex bezeichnet wird. Die Kanten des sphärischen Simplexes sind Großkreisbögen. Die Winkel ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \chi }$ und ${\displaystyle \psi }$ sind dann die Längen der Großkreisbögen ${\displaystyle P_{0}P_{1}}$, ${\displaystyle P_{0}P_{3}}$ und ${\displaystyle P_{3}P_{2}}$.^[2.16]

Das charakteristische Simplex stellt den Fundamentalbereich der Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,4]}$ dar. Es ist das Analogon des Fundamentalbereichs eines platonischen Körpers, der durch ein rechtwinkliges euklidisches oder sphärisches Dreieck definiert wird.

Die Symmetriegruppe ${\displaystyle [3,3,4]}$ wird durch Spiegelungen in den vier Hyperebenen ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{2}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{1}O_{3}}$, ${\displaystyle O_{4}O_{0}O_{2}O_{3}}$ und ${\displaystyle O_{4}O_{1}O_{2}O_{3}}$ erzeugt.^[2.17] Durch Anwendung aller 384 Symmetrieoperationen der Gruppe wird das 8-Zell vollständig durch die charakteristischen Simplexe aufgebaut. Jeder seiner Würfel besteht aus 48 charakteristischen Simplexen.

Darstellung der Symmetriegruppe des 8-Zells durch die Ecken von sechs 16-Zellen

Die Ecken von sechs 16-Zellen stellen als Einheitsquaternionen interpretiert die Symmetriegruppe des 16-Zells dar. Diese Repräsentation ist im Artikel über das 16-Zell im Abschnitt Darstellung der Symmetriegruppe des 16-Zells durch die Ecken von sechs 16-Zellen genauer beschrieben. Daher stellen die Ecken der sechs 16-Zelle auch die Symmetriegruppe des 8-Zells dar.

Literatur

• Ein Gebäude in der Form eines Tesserakts liegt der Science-Fiction-Kurzgeschichte von Robert Heinlein —And He Built a Crooked House— aus dem Jahr 1941 zugrunde.
• In dem Roman Die Zeitfalte von Madeleine L’Engle erlaubt die Methode der „Tesserung“ (im Original Tesseract) das Reisen über weite Entfernungen durch Raum und Zeit.
• Im Marvel-Comics-Universum ist ein mächtiger, kosmischer Würfel nach dem Tesserakt benannt. Abgesehen von der Form und dem Namen hat dieser Gegenstand nichts mit dem oben erklärten Tesserakt gemeinsam. In der filmischen Adaption des Universums tritt der Tesserakt mehrfach auf.

Film

• Im Film Interstellar befindet sich der Hauptcharakter zum Ende der Handlung im Innern des Ereignishorizonts einer Singularität in einem Raum, in dem die Zeit als vierte Raumdimension erscheint, dieser Raum erscheint optisch als dreidimensionale Projektion eines Tesserakts und wird auch als solcher bezeichnet.
• Der Tesserakt spielt eine große Rolle im Film Cube 2: Hypercube sowie in der Fernsehserie Gene Roddenberry's Andromeda.

Musik

• Die britische Progressive-Metal-Band Tesseract benannte sich nach dem Tesserakt.