Anneau de Sylvester

Un anneau de Sylvester est un anneau sur lequel les matrices ont un rang qui vérifie l'égalité de Sylvester, classique pour les matrices définies sur un corps.

Pour une matrice à coefficients dans un corps, la notion de rang ne présente pas d'ambiguïté. Il en va différemment pour une matrice à éléments dans un anneau.

Si l'anneau R est un anneau d'Ore, on peut plonger R dans son corps des fractions K.
On appelle rang extérieur d'un matrice A à éléments dans R le rang de cette matrice considérée comme étant à éléments dans K. Ce rang est noté $rg\left(A\right)$ et il vérifie toujours l'inégalité de Sylvester.
On définit également le rang intérieur d'une matrice à éléments dans un anneau R qui n'est pas nécessairement d'Ore.
Le rang intérieur de $A\in R^{n\times m}$ est noté $\rho \left(A\right)$ et est défini comme étant le plus petit entier $r$ pour lequel il existe une factorisation $A=BC,B\in R^{n\times r},C\in R^{r\times m}$ ^[1].
Si $A$ et $B$ sont deux matrices, la somme diagonale de ces matrices, notée $A\oplus B$ , est la matrice $\left({\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}\right)=diag\left(A,B\right)$ .
On dit qu'un anneau R a la propriété UGN^[2] si pour tout entier n il existe un R-module qui ne peut pas être engendré par n éléments. La propriété UGN entraîne la propriété IBN (en) (voir l'article anneau d'Hermite)^[1].
Soit R un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes^[3] :

Pour tous entiers $n,m,p$ , des matrices quelconques $A\in R^{n\times m}$ et $B\in R^{m\times p}$ vérifient l'inégalité de Sylvester $\rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)-m\leq \rho \left(AB\right)$ .
Pour tous entiers $n,m,p$ , si des matrices $A=B\in R^{n\times m}$ et $B\in R^{m\times p}$ sont telles que $AB=0$ , alors $m\geq \rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)$ .

On appelle anneau de Sylvester un anneau qui vérifie les propriétés équivalentes ci-dessus.

Propriétés

Soit $A\in R^{n\times m}$ . On a les inégalités suivantes dès que les membres de gauche ont un sens^[1] : $\rho \left(A\right)\leq \min \left(n,m\right),\rho \left(A\oplus B\right)\leq \rho \left(A\right)+\rho \left(B\right),$
$\rho \left(AB\right)\leq \min \left(\rho \left(A\right),\rho \left(B\right)\right),\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&B\end{array}}\right]\right)\geq \max \left(\rho \left(A\right),\rho \left(B\right)\right).$
Si R est un anneau d'Ore, on a, pour toute matrice $A$ à éléments dans R, $rg\left(A\right)\leq \rho \left(A\right)$ , avec égalité si, et seulement si R est un anneau de Sylvester^[4]. Un anneau d'Ore R est de Sylvester si, et seulement si sa dimension homologique faible^[5] est inférieure ou égale à 2 et tout R-module plat est la réunion d'une famille filtrante croissante de sous-modules libres^[3].
Si R est un anneau sans diviseur de zéro noethérien, cette condition est vérifiée si, et seulement si R est de dimension homologique au plus égale à 2 et est projectif libre (voir l'article anneau d'Hermite)^[6].
Si R est un anneau de Sylvester, alors R est sans diviseur de zéro. De plus, pour toutes matrices $A$ et $B$ à éléments dans R, $\rho \left(A\oplus B\right)=\rho \left(A\right)+\rho \left(B\right)$ ; si $A,B$ et $C$ sont des matrices à éléments dans $R$ ayant le même nombre de colonnes et si $\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&B\end{array}}\right]\right)=\rho \left(\left[{\begin{array}{cc}A&C\end{array}}\right]\right)=\rho \left(A\right)$ , alors $\rho \left(\left[{\begin{array}{ccc}A&B&C\end{array}}\right]\right)=\rho \left(A\right)$ ^[1].
Tout anneau de Sylvester a la propriété UGN, a sa dimension globale faible inférieure ou égale à 2, et est projectif libre^[1].

Exemples

Un anneau de Bézout (non nécessairement commutatif) est un anneau de Sylvester, et la première algèbre de Weyl $A_{1}\left(k\right)$ (où $k$ est un corps commutatif de caractéristique 0) est un exemple d'anneau de Dedekind qui n'est pas un anneau de Sylvester^[1].

v · m Théorie des anneaux
Structures	Anneau unitaire Pseudo-anneau Demi-anneau Anneau commutatif Anneau de polynômes Ordre Algèbre de Weyl Idéal Corps des fractions Module sur un anneau Algèbre sur un anneau Catégorie des anneaux Spectre
Propriétés arithmétiques	Anneau adélique Anneau local Anneau de Dedekind (non commutatif) Anneau sans diviseur de zéro Anneau principal (non commutatif) Anneau euclidien (non commutatif) Anneau factoriel Anneau à PGCD Anneau de Bézout Anneau de Schreier Anneau de Goldman Anneau intègre Anneau de valuation discrète Anneau d'Ore Anneau réduit Idéal premier Idéal maximal Idéal primaire Idéal primitif (en)
Chaînes d'idéaux	Anneau noethérien Anneau artinien Anneau de Jaffard Anneau cohérent Anneau de Goldie Anneau de Jacobson Anneau de Gorenstein Anneau caténaire
Mesures	Dimension de Krull Dimension homologique Longueur d'un module Profondeur d'un module
Modules	Catégorie des modules Module de type fini Module simple Module semi-simple Module monogène Module libre Module quotient Facteur direct Dual d'un module Annulateur Produit tensoriel Puissance extérieure Bimodule Module artinien Anneau de Cohen-Macaulay Anneau des entiers
Fonctorialité	Anneau d'Hermite Module projectif Module injectif Module plat Module fidèle Anneau régulier
Opérations	Morphisme d'anneaux Localisation Somme directe Produit tensoriel Représentation Quotient Extension d'anneau (en) Radical d'un idéal Nilradical Radical de Jacobson Going up et going down

Anneau de Sylvester

Propriétés

Exemples

Notes et références

Notes

Références

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