Courbe du diable

La courbe du diable s'écrit algébriquement sous la forme générale $x^{4}-y^{4}-(a^{2}+b^{2})x^{2}-(a^{2}-b^{2})y^{2}=0$ . Elle est ainsi nommée parce qu'elle ressemble visuellement à la partie mobile d'un jouet de jonglerie, le diabolo. Elle a notamment été étudiée en 1750 par Cramer.

La courbe du diable a été découverte en 1750 par Gabriel Cramer, qui l'a par la suite étudiée extensivement^[1].

Elle a été étudiée en 1810 par Lacroix.^{[réf. nécessaire]}

Description

Son nom est à la fois une allusion à la forme que prend la courbe fermée au centre, un lemniscate, forme que prend l'une des parties du diabolo utilisé en jonglerie et formé d'une corde retenue par deux poignées et une pièce qui est lancée dans les airs^[2]^,^[3].

Lorsque $|b|<|a|$ , le lemniscate central, aussi appelé le sablier, est horizontal. Lorsque $|b|>|a|$ , il est vertical. Si $|b|=|a|$ , alors la forme est un cercle. Le sablier vertical intercepte l'axe vertical à $y\in \{b,-b,0\}$ . Le sablier horizontal intercepte l'axe horizontal à $x\in \{a,-a,0\}$ .

Équations

Équation polaire : $r^{2}=b^{2}+{\frac {a^{2}}{\cos 2\theta }}$ .

Autre équation polaire : $r={\sqrt {\frac {b^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta }}}={\sqrt {\frac {b^{2}-a^{2}\cot ^{2}\theta }{1-cot^{2}\theta }}}$ .

Équation cartésienne : $x^{4}-y^{4}-(a^{2}+b^{2})x^{2}-(a^{2}-b^{2})y^{2}=0$ .

Autre forme cartésienne : $y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})$ ^[4].

Elle peut aussi $y^{4}-x^{4}+ay^{2}+bx^{2}=0$ ^[5]

Un cas spécial de la courbe apparaît lorsque ${\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {25}{24}}$ : elle est alors appelée la « courbe du moteur électrique (electric motor curve)^[6]. Elle s'écrit :

y^{2}(y^{2}-96)=x^{2}(x^{2}-100)

.

La courbe ressemble en effet au bobinage d'un moteur électrique rotatif.

v · m Exemples de courbes
Coniques	Cercle Ellipse Hyperbole Parabole
Cissoïdes	Cissoïde de Dioclès
Courbes cycloïdales	Cycloïde Épicycloïde Cardioïde Néphroïde Hypocycloïde Astroïde Deltoïde Épitrochoïde Limaçon de Pascal
Spirales (Liste)	Archimède À centre multiple Cotes Épi Euler Fermat Hyperbolique Lituus Logarithmique D'or Poinsot Sinusoïdale Ulam
Lemniscates	Bernoulli Booth Courbe du diable Gerono
Isochrones	Isochrone de Leibniz
Autres	Brachistochrone Chaînette Conchoïde Folium de Descartes Hélice Hypotrochoïde Ovale de Cassini Quadratrice d'Hippias Strophoïde Spirique de Persée Trajectoire Glissette

Description

Équations

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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