Spirale hyperbolique

La courbe est constituée de deux branches symétriques l'une de l'autre par une symétrie d'axe (O,v). Elle possède une droite asymptote d'équation polaire ${\displaystyle \rho ={\frac {m}{\sin \theta }}}$ (droite parallèle à (O, u) et à une distance m du pôle O) et a pour point asymptote le pôle O.

C'est une courbe transcendante^[4].

C'est une courbe à sous-tangente polaire constante. Plus précisément, si T est le point d'intersection de la tangente en M avec la droite perpendiculaire à OM passant par O, quel que soit le point M, on a OT = m. Cette propriété est caractéristique des spirales hyperboliques.

Son rayon de courbure est ^[4],[5]: ${\displaystyle R=m{\frac {\left(1+\theta ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\theta ^{4}}}=\rho {\frac {(m^{2}+\rho ^{2})^{\frac {3}{2}}}{m^{3}}}={\frac {MN^{3}}{ON\times OT}}}$ où T et N sont les points d'intersection de la perpendiculaire à (OM) avec la tangente et la normale à la courbe en M.

Cette propriété permet à Franck Balitrand de proposer une construction du centre de courbure^[6] : en considérant le point d'intersection ω de la parallèle à la normale passant par T et de la perpendiculaire au rayon (OM) passant par M, la droite (Oω) rencontre la normale à la courbe en son centre de courbure.

Son abscisse curviligne s vérifie^[4]: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {m}{\theta ^{2}}}{\sqrt {1+\theta ^{2}}}}$

La longueur d'un arc de courbe entre deux points M₁ et M₂ situés sur la même branche est donnée par la formule ^[5]: ${\displaystyle L=g(M_{2}T_{2})-g(M_{1}T_{1})}$ où les points T_i sont définis comme précédemment et où la fonction g est définie par : ${\displaystyle g(t)=t+{\frac {3}{2}}\ln \left({\frac {t-m}{t+m}}\right)}$ La spirale s'enroule donc autour de son pôle selon une spirale de longueur infinie^[4].

L'aire balayée par un rayon entre les points M₁ et M₂ est donnée par la formule ^[5]: ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}m(\rho _{1}-\rho _{2})}$