Spirale de Poinsot

Son équation polaire se ramène à ${\displaystyle \rho \cosh(k\theta )=C}$.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que^[5]:

${\displaystyle \tan \alpha =k\tanh(k\theta )}$.

Le rayon de courbure a pour valeur^[6] :

${\displaystyle R=\rho {\frac {{\sqrt {1+k^{2}\tanh ^{2}(k\theta )}}^{\,3}}{1+k^{2}}}}$

La courbe de Poinsot bornée est la projection sur l'équateur d'une loxodromie de la sphère^[2].

Son équation polaire se ramène à ${\displaystyle \rho \sinh(k\theta )=C}$.

Elle possède une asymptote d'équation y= K/k.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que^[7]:

${\displaystyle \tan \alpha =k\coth(k\theta )}$.

Le rayon de courbure a pour valeur^[7]:

${\displaystyle R=\rho {\frac {{\sqrt {1+k^{2}\coth ^{2}(k\theta )}}^{\,3}}{1+k^{2}}}}$