Spirale de Fermat

La spirale de Fermat est une courbe transcendante qui possède deux branches (pour ρ positif et pour ρ négatif) symétriques par rapport à O. Elle partage le plan en deux composantes connexes^[3].

Pour tout point M de la courbe, on appelle T et N les points d'intersection de la tangente et la normale à la courbe en M avec la droite passant par O et perpendiculaire à (OM). Les longueurs OT et ON (sous-tangente et sous-normale) valent alors^[4]: ${\displaystyle OT={\frac {2\rho ^{3}}{a^{2}}}}$ et ${\displaystyle ON={\frac {a^{2}}{2\rho }}}$ L'aire du triangle OMN est donc constante égale au quart du carré de côté a.

L'aire balayée par le rayon OM de M_d à M_f est donnée par la formule^[4]: ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\left(\theta _{f}\rho _{f}^{2}-\theta _{d}\rho _{d}^{2}\right).}$

En particulier, si l'on prend pour θ_k la valeur 2kπ, la surface balayée par le rayon de M₀ à M₁ correspond à la moitié de l'aire du disque de rayon OM₁, les autres spires ont des aires identiques égales à l'aire du disque de rayon OM₁^[4]. C'est la propriété énoncée par Fermat en 1636^[1].

Le rayon de courbure s'exprime par^[4]: ${\displaystyle R={\frac {(4\rho ^{4}+a^{4})^{\frac {3}{2}}}{2\rho (4\rho ^{4}+3a^{4})}}}$ La courbe possède donc un seul point d'inflexion à l'origine.

Son abscisse curviligne est donnée par^[3],[4]: ${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+\left({\frac {\rho }{a}}\right)^{4}}}\mathrm {d} \rho ={\frac {a}{2}}{\frac {4\theta ^{2}+1}{\sqrt {\theta (4\theta ^{2}+1)}}}\mathrm {d} \theta }$ et la rectification de la courbe fait intervenir une intégrale elliptique de première espèce^[4].

La spirale de Fermat est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon a, du lituus^[3] d'équation polaire ρ²θ = a².

Si on fait rouler la spirale de Fermat d'équation ρ² = a²θ sur la courbe d'équation ${\displaystyle x=-{\frac {2}{3a^{2}}}y^{3}}$, son centre se déplace sur l'axe des abscisses^[3]. Cette propriété avait déjà été remarquée par Pierre Varignon en 1704^[5].