Distance de Hellinger

En théorie des probabilités, la distance de Hellinger entre deux mesures de probabilités $P$ et $Q$ absolument continues par rapport à une troisième mesure $\lambda$ , sert à quantifier les similarités entre les deux distributions. Par définition, le carré de la distance de Hellinger entre $P$ et $Q$ est donné par :

$H^{2}(P,Q)={\frac {1}{2}}\int \left({\sqrt {\frac {dP}{d\lambda }}}-{\sqrt {\frac {dQ}{d\lambda }}}\right)^{2}d\lambda .$

où ${\frac {dP}{d\lambda }}$ et ${\frac {dQ}{d\lambda }}$ désignent respectivement les dérivées de Radon-Nykodym de $P$ et $Q$ . Cette définition ne dépend pas de $\lambda$ , si bien que la distance de Hellinger entre $P$ et $Q$ ne change pas si $\lambda$ est remplacée par une autre mesure de probabilité par rapport à laquelle $P$ et $Q$ soient absolument continues.

Pour alléger l'écriture, la formule précédente est couramment écrite :

$H^{2}(P,Q)={\frac {1}{2}}\int \left({\sqrt {dP}}-{\sqrt {dQ}}\right)^{2}.$

La distance de Hellinger $H(P,Q)$ ainsi définie vérifie :

$0\leq H(P,Q)\leq 1.$

Remarque : Certains auteurs ne font pas figurer le facteur 1/2 précédant l'intégrale dans cette définition.

La distance de Hellinger est une α-divergence de Amari^[1], correspondant à la valeur α =0.

À ce titre c'est une f-divergence de Csiszár^[2] et une divergence de Bregman^[3].

Comme il s'agit de la seule distance (symétrique, auto-duale) de la classe des α-divergences, c'est la distance canonique de l'espace des distributions de la famille exponentielle, le système de coordonnées associé étant $r_{i}=2{\sqrt {P_{i}}}$ .

Autre conséquence, étant une α-divergence, la courbure locale (son Hessien en P) de la distance de Hellinger est égale à l'information de Fisher de la distribution P :

I_{uv}=\sum _{i}{\frac {\partial r_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial r_{i}}{\partial v}}

I_{uv}=4\sum _{i}{\frac {\partial {\sqrt {P_{i}}}}{\partial u}}{\frac {\partial {\sqrt {P_{i}}}}{\partial v}}

.

La distance de Hellinger est liée directement avec la distance de Bhattacharyya :

D_{B}(P,Q)=-\ln \left(\sum _{i}{\sqrt {P_{i}Q_{i}}}\right)

par la relation

H(P,Q)={\sqrt {1-\exp(-D_{B}(P,Q))}}

.

Exemples

La distance de Hellinger entre deux lois normales $P\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ et $Q\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$ est donnée par