Loi de Lomax

Fonction de densité de probabilité

La fonction de densité de probabilité de la loi de Lomax est donnée par

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha }{\lambda }}\left(1+{\frac {x}{\lambda }}\right)^{-(\alpha +1)},\qquad x\geq 0,}$

avec un paramètre de forme ${\displaystyle \alpha >0}$ et un paramètre d'échelle ${\displaystyle \lambda >0}$. La densité peut être reformulée de manière à mettre plus clairement en évidence sa relation avec la loi de Pareto de type I, avec :

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha \lambda ^{\alpha }}{(x+\lambda )^{\alpha +1}}}.}$

Moments non centraux

Le moment non central d'ordre ν ${\displaystyle \mathbb {E} \left(X^{\nu }\right)}$ n'existe que si le paramètre de forme ${\displaystyle \alpha }$ est strictement supérieur à ${\displaystyle \nu }$, auquel cas le moment a pour valeur

${\displaystyle \mathbb {E} \left(X^{\nu }\right)={\frac {\lambda ^{\nu }\Gamma (\alpha -\nu )\Gamma (1+\nu )}{\Gamma (\alpha )}}.}$

Relation avec la loi de Pareto

La loi de Lomax est une loi de Pareto de type I décalée de sorte que son support commence à zéro. Plus précisément :

${\displaystyle {\text{Si }}Y\sim \operatorname {Pareto} (x_{m}=\lambda ,\alpha ),{\text{ alors }}Y-x_{m}\sim \operatorname {Lomax} (\alpha ,\lambda ).}$

La loi de Lomax est une loi de Pareto de type II^[5] avec x_m = λ et μ = 0 :

${\displaystyle {\text{Si }}X\sim \operatorname {Lomax} (\alpha ,\lambda ){\text{ alors }}X\sim {\text{P(II)}}\left(x_{m}=\lambda ,\alpha ,\mu =0\right).}$

Relation avec la loi de Pareto généralisée

La loi de Lomax est un cas particulier de la loi de Pareto généralisée . Plus précisément, la loi de Lomax est la loi de Pareto de paramètres

${\displaystyle \mu =0,~\xi ={1 \over \alpha },~\sigma ={\lambda \over \alpha }.}$

Relation avec la loi bêta prime

La loi de Lomax avec paramètre d'échelle λ = 1 est un cas particulier de la loi bêta prime . Si X suit une loi de Lomax, alors ${\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}$ .

Relation avec la loi de Fisher

La loi de Lomax de paramètre de forme α = 1 et de paramètre d'échelle λ = 1 a pour densité ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}$, la même distribution qu'une loi de Fisher (2,2) . Il s'agit de la loi du rapport de deux variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant toutes les deux une loi exponentielle .

Relation avec la loi q-exponentielle

La loi de Lomax est un cas particulier de la loi q-exponentielle . La q-exponentielle étend la loi à un intervalle borné. Les paramètres de la loi de Lomax sont donnés par :

${\displaystyle \alpha ={{2-q} \over {q-1}},~\lambda ={1 \over \lambda _{q}(q-1)}.}$

Relation avec la loi logistique

Le logarithme d'une variable suivant une loi de Lomax avec α = 1 suit une loi logistique de position ln(λ) et d'échelle 1.

Composition gamma-exponentielle (échelle)

La loi de Lomax résulte d'une composition de lois exponentielles, la loi de mélange du taux étant une distribution gamma : si λ | k, θ ~ Gamma (k, θ) et X | λ ~ Exponentielle(λ) alors la loi marginale de X | k, θ est une loi de Lomax de paramètres (k, 1/θ)^[6]. Puisque le paramètre d'échelle peut être reparamétré de manière équivalente en un autre paramètre d'échelle, la loi de Lomax constitue un composition d'exponentielles (avec le paramètre d'échelle exponentiel suivant une loi inverse-gamma).