Polyèdre uniforme

Un polyèdre uniforme est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers et qui est isogonal, c'est-à-dire que pour tout couple de sommets, il existe une isométrie qui applique un sommet sur l'autre. Il en découle que tous les sommets sont congruents et que le polyèdre possède un haut degré de symétrie par réflexion et rotation. La notion de polyèdre uniforme est généralisée, pour un nombre de dimensions quelconque, par celle de polytope uniforme (en).

Les polyèdres uniformes peuvent être réguliers, quasi réguliers ou semi-réguliers. Les polyèdres n'ont pas besoin d'être convexes, si bien que beaucoup de polyèdres uniformes sont étoilés.

En excluant les deux ensembles infinis des prismes et antiprismes uniformes (incluant les convexes et les étoilés), il existe 75 polyèdres uniformes (ou 76 si les arêtes sont autorisées à coïncider), à savoir :

les polyèdres uniformes convexes :
- les 5 solides de Platon (réguliers),
- les 13 solides d'Archimède (2 quasi réguliers et 11 semi-réguliers) ;
les polyèdres uniformes étoilés :
- les 4 réguliers : solides de Kepler-Poinsot,
- les 53 non réguliers : 14 à faces convexes et 39 à faces non convexes,
- 1 polyèdre avec les paires d'arêtes qui coïncident, trouvé par John Skilling (en).

Ils peuvent aussi être regroupés par groupe de symétrie, comme dans la classification donnée par le logiciel Mathematica.

Indexation

Les solides de Platon sont connus depuis l'Antiquité par les Grecs classiques et ont été étudiés par Platon, Théétète et Euclide.
Johannes Kepler (1571-1630) est le premier à publier la liste complète des solides d'Archimède, après la perte du travail original d'Archimède.
Kepler (1619) découvre deux des solides de Kepler-Poinsot réguliers et Louis Poinsot (1809) découvre les deux autres.
Des 66 restant, 37 sont découverts par Albert Badoureau (1881). Edmund Hess (en) (1878) en découvre deux supplémentaires et Pitsch (1881) en découvre 18 indépendamment, dont 15 nouveaux.
Coxeter découvre les 12 restants en collaboration avec J. C. P. Miller (en) (1930-1932), sans publier ses travaux. M. S. (en) et H.C. Longuet-Higgins en découvrent indépendamment 11 d'entre eux.
En 1954, Coxeter, Longuet-Higgins et Miller publient la liste des polyèdres uniformes et conjecture que la liste est complète.
En 1970, Sopov démontre leur conjecture en établissant que la liste est complète.
En 1974, Magnus Wenninger (en) publie Polyhedron models (en) (patrons de polyèdres), dans lequel il donne la première liste entière publiée des 75 polyèdres uniformes non prismatiques, dont beaucoup, auparavant sans nom publié, avaient été baptisés par Norman Johnson.
En 1975, John Skilling prouve indépendamment la complétude de cette liste, et montre que si la définition du polyèdre uniforme est assouplie pour autoriser la coïncidence des arêtes, alors seule une possibilité supplémentaire est offerte.
En 1987, Edmond Bonan (en) dessine tous les polyèdres uniformes et leurs duaux en 3D, au moyen du programme Polyca, écrit en Turbo Pascal : presque toutes ces représentations son montrées lors des congrès ISU de 1993, au Congress Theater, Eastbourne, Angleterre, et de 2005, au Kursaal à Besançon^[1].
En 1993, Zvi Har'El produit une construction informatique complète des polyèdres uniformes et de leurs duaux via leurs constructions kaleïdoscopiques, en écrivant un programme informatique appelé Kaleido, et résumée dans un article intitulé Uniform Solution for Uniform Polyhedra., comptant les solides 1-80.
En 1993 également, R. Mäder implémente le programme Kaleido dans Mathematica, avec un système d'indexation légèrement différent.

Il existe quatre tentatives majeures d'indexation élaborées à partir des travaux ci-dessus. Pour les distinguer, différentes lettres d'indexation sont utilisées. La lettre C pour la première énumération de Coxeter en 1954, W pour celle publiée par Wenninger dans son livre de 1974 sur les patrons de polyèdres, K pour la construction Kaleido de 1993, et U pour la construction utilisée par le logiciel Mathematica et reproduite extensivement ailleurs.

[C] 1954 : dans son article, Coxeter liste les polyèdres uniformes de 15 à 92. Les indices de 15 à 32 sont utilisés pour désigner les polyèdres convexes, ceux de 33 à 35 pour les trois ensembles prismatiques infinis et ceux de 36 à 92 pour les polyèdres non convexes.
[W] 1974 : dans son livre Polyhedron model, Wenninger énumère les solides de 1 à 119 : 1 à 5 pour les solides de Platon, 6 à 18 pour les solides d'Archimède, 19 à 66 pour les formes étoilées incluant les 4 polyèdres réguliers non convexes et 67 à 119 pour les polyèdres uniformes non convexes.
[K] 1993 Kaleido : les 80 solides construits à l'aide de Kaleido sont regroupés par symétrie, énumérés de 1 à 80 : 1 à 5 pour les familles infinies de polyèdres prismatiques avec symétrie diédrale, 6 à 9 pour la symétrie tétraédrique (en), 10 à 26 pour la symétrie octaédrique et 46 à 80 pour la symétrie icosaédrique.
[U] 1993 Mathematica : cette indexation donnée par Mathematica suit celle de Kaleido, mais déplace les 5 formes prismatiques vers la fin, en indexant les polyèdres non prismatiques de 1 à 75.

Formes convexes et configurations de sommet fondamentales

Les polyèdres uniformes convexes peuvent être nommés par les opérations de construction de Wythoff sur une forme parent.

Note : les dièdres (en) font partie d'un ensemble infini de polyèdres à deux côtés (2 polygones identiques) qui engendre les prismes comme formes tronquées.

Chacune de ces formes convexes définit un ensemble de sommets qui peut être identifié pour les formes non convexes dans la prochaine section.

	Parent	Tronqué	Rectifié	Bitronqué (dual tronqué)	Birectifié (dual)	Biseauté	Omnitronqué (Rectifié-tronqué)	Adouci
Symbole de Schläfli Étendu	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$
Symbole de Schläfli Étendu	t₀{p,q}	t_0,1{p,q}	t₁{p,q}	t_1,2{p,q}	t₂{p,q}	t_0,2{p,q}	t_0,1,2{p,q}	s{p,q}
Symbole de Wythoff p-q-2	q \| p 2	2 q \| p	2 \| p q	2 p \| q	p \| q 2	p q \| 2	p q 2 \|	\| p q 2
Diagramme de Coxeter-Dynkin (variations)

	(o)-p-o-q-o	(o)-p-(o)-q-o	o-p-(o)-q-o	o-p-(o)-q-(o)	o-p-o-q-(o)	(o)-p-o-q-(o)	(o)-p-(o)-q-(o)	( )-p-( )-q-( )
	xPoQo	xPxQo	oPxQo	oPxQx	oPoQx	xPoQx	xPxQx	sPsQs
	[p,q]:001	[p,q]:011	[p,q]:010	[p,q]:110	[p,q]:100	[p,q]:101	[p,q]:111	[p,q]:111s
Configuration de sommet	p^q	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(p.2q.2q)	q^p	(p.4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.p.3.q)
Tétraédrique 3-3-2	{3,3}	(3.6.6)	(3.3.3.3)	(3.6.6)	{3,3}	(3.4.3.4)	(4.6.6)	(3.3.3.3.3)
Octaédrique 4-3-2	{4,3}	(3.8.8)	(3.4.3.4)	(4.6.6)	{3,4}	(3.4.4.4)	(4.6.8)	(3.3.3.3.4)
Icosaédrique 5-3-2	{5,3}	(3.10.10)	(3.5.3.5)	(5.6.6)	{3,5}	(3.4.5.4)	(4.6.10)	(3.3.3.3.5)
Diédrique p-2-2 Exemple p=5	{5,2}	2.10.10	2.5.2.5	4.4.5	{2,5}	2.4.5.4	4.4.10	3.3.3.5

Définition des opérations

Opération	Étendu Symboles de Schläfli		Description
Parent	t₀{p,q}	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	Polyèdre régulier quelconque ou pavage
Rectifié	t₁{p,q}	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	Les arêtes sont pleinement tronquées en points uniques. Le polyèdre possède alors les faces combinées du polyèdre parent et du dual.
Birectifié Dual	t₂{p,q}	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	Le birectifié (dual) est une troncature plus poussée c’est-à-dire que les faces originelles sont réduites à des points. Les nouvelles faces sont formées sous chaque sommet du polyèdre parent. Le nombre d'arêtes est inchangé et est tourné de 90 degrés. Le dual d'un polyèdre régulier {p, q} est aussi un polyèdre régulier {q, p}.
Tronqué	t_0,1{p,q}	$t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	Chaque sommet originel est tronqué, créant ainsi une nouvelle face. Cette troncature possède un degré de liberté dont une solution donne un polyèdre uniforme. Le polyèdre a ses faces originales doublées par côtés, et contient les faces du dual.
Bitronqué	t_1,2{p,q}	$t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	Identique au dual tronqué.
Biseauté (ou rhombé) (développé)	t_0,2{p,q}	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	En ajout à la troncature des sommets, chaque arête originale est rabotée faisant apparaître à la place de nouvelles faces rectangulaires. Un biseautage uniforme se trouve à mi-chemin entre le parent et les formes duales.
Omnitroncature (ou rectification-troncature)	t_0,1,2{p,q}	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	Les opérations de troncature et de rectification sont appliquées ensemble, créant une forme omnitronquée qui a les faces du parent doublées sur les côtés, les faces du dual doublées sur les côtés et des carrés où les arêtes originales existaient.
Adouci	s{p,q}	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	L'adoucissement prend la forme omnitronquée et rectifie les sommets alternativement (cette opération est seulement possible pour les polyèdres avec toutes les faces sur les côtés paires). Toutes les faces originales finissent avec la moitié des côtés, et le carré dégénère en arêtes. Puisque les formes omnitronquées ont 3 faces/sommet, de nouveaux triangles sont formés.

Formes non convexes listées par groupes de symétrie et par configurations de sommet

Tous les polyèdres uniformes sont listés ci-dessous par leurs groupes de symétrie et sous-groupés par leurs arrangements de sommet (configurations de sommet).

Les polyèdres réguliers sont marqués par leurs symboles de Schläfli. Les autres polyèdres uniformes, non réguliers, sont listés par leurs configurations de sommet ou par leurs indices des polyèdres uniformes U(1-80).

Note : Pour les formes non convexes, un descripteur supplémentaire, « non uniforme », est utilisé lorsque l'enveloppe convexe de l'arrangement de sommet possède la même topologie que l'un d'entre eux, mais possède des faces non régulières. Par exemple, une forme biseautée non uniforme peut avoir des rectangles créés à la place d'arêtes plutôt que des carrés.

Symétrie tétraédrique

Il existe deux polyèdres uniformes convexes, le tétraèdre et le tétraèdre tronqué, et une forme non convexe, le tétrahémihexaèdre qui possède une symétrie tétraédrique (en). Le tétraèdre est un polyèdre autodual.

En plus, l'octaèdre, l'octaèdre tronqué, le cuboctaèdre et l'icosaèdre ont une symétrie tétraédrique de même qu'une symétrie plus élevée. Ils sont ajoutés pour l'exhaustivité ci-dessous, bien que leurs formes non convexes avec la symétrie octaédrique ne soient pas incluses ici.

Groupe de sommet	Convexe	Non convexe
(Tétraèdre)	{3,3}
Tronqué (*)	(3.6.6)
Rectifié (*)	{3,4}	(4.3/2.4.3)
Biseauté (*)	(3.4.3.4)
Omnitronqué (*)	(4.6.6)
Adouci (*)	{3,5}

Symétrie octaédrique

Il existe 8 formes convexes et 10 formes non convexes avec la symétrie octaédrique.

Groupe de sommet	Convexe	Non convexe
(Octaédrique)	{3,4}
Tronqué (*)	(4.6.6)
Rectifié (*)	(3.4.3.4)	(6.4/3.6.4)	(6.3/2.6.3)
Dual tronqué (*)	(3.8.8)	(4.8/3.4/3.8/5)	(8/3.3.8/3.4)	(4.3/2.4.4)
Dual (*)	{4,3}
Biseauté (*)	(3.4.4.4)	(4.8.4/3.8)	(8.3/2.8.4)	(8/3.8/3.3)
Omnitronqué (*)	(4.6.8)
Omnitronqué non uniforme (*)	(4.6.8)	(8/3.4.6)	(8/3.6.8)
Adouci (*)	(3.3.3.3.4)

Symétrie icosaédrique

Il existe 8 formes convexes et 46 formes non convexes ayant la symétrie icosaédrique (ou 47 formes non convexes si le polyèdre de Skilling est inclus). Certaines formes adoucies non convexes ont une symétrie chirale non uniforme, et certaines ont une symétrie achirale.

Il existe beaucoup de formes non uniformes de degrés variés de troncature et de biseautage.

Groupe de sommet	Convexe	Non convexe
(Icosaédrique)	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{3,5/2}
Tronqué (*)	(5.6.6)
Tronqué non uniforme (*)	(5.6.6)	U32	U37	U61	U38	U44	U56	U67	U73
Rectifié (*)	(3.5.3.5)	U49	U51	U54	U70	U71	U36	U62	U65
Dual tronqué (*)	(3.10.10)	U42	U48	U63
Dual tronqué non uniforme (*)	(3.10.10)	U68	U72	U45
Dual (*)	{5,3}	{5/2,3}	U30	U41	U47
Biseauté (*)	(3.4.5.4)	U33	U39
Biseauté non uniforme (*)	(3.4.5.4)	U31	U43	U50	U55	U58	U75	U64	U66
Omnitronqué (*)	(4.6.10)
Omnitronqué non uniforme (*)	(4.6.10)	U59
Adouci (*)	(3.3.3.3.5)
Adouci non uniforme (*)	(3.3.3.3.5)	U40	U46	U57	U69	U60	U74

Polyèdre de Skilling

Il existe un polyèdre non convexe supplémentaire appelé le grand dirhombidodécaèdre disadouci, aussi connu sous le nom polyèdre de Skilling. Il est de sommets uniformes, mais des paires d'arêtes coïncident dans l'espace de telle sorte que quatre faces se rencontrent à certains sommets. Il est quelquefois, mais pas toujours, compté comme un polyèdre uniforme. Il possède une symétrie I_h.

Symétrie diédrale

Il existe deux ensembles infinis de polyèdres uniformes avec la symétrie diédrale :

Les prismes, pour chaque nombre rationnel p/q > 2, avec le groupe de symétrie D_ph;
Les antiprismes, pour chaque nombre rationnel p/q > 3/2, avec le groupe de symétrie D_pd si q est impair, D_ph si q est pair.

Si p/q est un nombre entier, i.e. si q = 1, le prisme ou l'antiprisme est convexe (la fraction est toujours supposée irréductible).

La différence entre les groupes de symétrie prismatiques et antiprismatique réside dans le fait que D_ph possède un plan de réflexion parallèle au polygone {p/q}, alors que D_pd n'en possède pas.

Un antiprisme avec p/q < 2 est croisé ; sa figure de sommet ressemble à un nœud papillon. Si p/q ≤ 3/2, aucun antiprisme ne peut exister, comme sa figure de sommet violerait l'inégalité triangulaire.

Note : le tétraèdre, le cube et l'octaèdre sont listés ici avec la symétrie diédrale (en tant qu'antiprisme digonal, prisme tétragonal et antiprisme trigonal respectivement) ; bien qu'uniformément colorés, le premier a aussi une symétrie tétraédrique et les deux autres une symétrie octaédrique.

Groupe de symétrie	Convexe	Non convexe
d_2d	3.3.3
d_3h	3.3.4
d_3d	3.3.3.3
d_4h	4.4.4
d_4d	3.3.3.4
d_5h	4.4.5	4.4.5/2	3.3.3.5/2
d_5d	3.3.3.5	3.3.3.5/3 (en)
d_6h	4.4.6
d_6d	3.3.3.6
d_7h	4.4.7 (en)	4.4.7/2 (ro)	4.4.7/3 (ro)	3.3.3.7/2 (ro)	3.3.3.7/4 (ro)
d_7d	3.3.3.7 (en)	3.3.3.7/3 (ro)
d_8h	4.4.8	4.4.8/3 (en)
d_8d	3.3.3.8	3.3.3.8/3 (en)	3.3.3.8/5 (en)
d_9h	4.4.9 (en)	4.4.9/2 et 4.4.9/4 (ta)	3.3.3.9/2 et 3.3.3.9/4 (sl)
d_9d	3.3.3.9 (en)	3.3.3.9/5
d_10h	4.4.10	4.4.10/3
d_10d	3.3.3.10	3.3.3.10/3
d_11h	4.4.11	4.4.11/2 4.4.11/3 4.4.11/4 4.4.11/5	3.3.3.11/2 3.3.3.11/4 3.3.3.11/6
d_11d	3.3.3.11	3.3.3.11/3 3.3.3.11/5 3.3.3.11/7
d_12h	4.4.12	4.4.12/5	3.3.3.12/7
d_12d	3.3.3.12	3.3.3.12/5
...

v · m Polyèdres uniformes (liste détaillée)^a
Réguliers convexes 5 solides de Platon	tétraèdre cube octaèdre dodécaèdre icosaèdre
Réguliers étoilés 4 solides de Kepler-Poinsot	petit dodécaèdre étoilé grand dodécaèdre étoilé grand dodécaèdre grand icosaèdre
Quasi-réguliers convexes 2 solides d'Archimède	cuboctaèdre icosidodécaèdre
Quasi-réguliers étoilés 5 non nommés	dodécadodécaèdre grand icosidodécaèdre petit icosidodécaèdre ditrigonal dodécadodécaèdre ditrigonal grand icosidodécaèdre ditrigonal
Semi-réguliers convexes non prismatiques 11 solides d'Archimède	tétraèdre tronqué cube tronqué octaèdre tronqué dodécaèdre tronqué icosaèdre tronqué cube adouci dodécaèdre adouci petit rhombicuboctaèdre grand rhombicuboctaèdre petit rhombicosidodécaèdre grand rhombicosidodécaèdre
Semi-réguliers convexes prismatiques infinité	antiprisme carré prisme pentagonal antiprisme pentagonal prisme hexagonal antiprisme hexagonal prisme heptagonal antiprisme heptagonal prisme octogonal antiprisme octogonal
Semi-réguliers étoilés non prismatiques à faces convexes 13 non nommès^b	tétrahémihexaèdre cubohémioctaèdre octahémioctaèdre petit rhombihexaèdre petit cubicuboctaèdre grand rhombicuboctaèdre uniforme petit dodécahémidodécaèdre petit icosihémidodécaèdre petit dodécicosaèdre petit rhombidodécaèdre petit dodécicosidodécaèdre rhombicosaèdre grand icosicosidodécaèdre
Semi-réguliers étoilés non prismatiques à faces étoilées 35 non nommés^b	hexaèdre tronqué étoilé grand rhombihexaèdre grand cubicuboctaèdre grand dodécahémidodécaèdre petit dodécahémicosaèdre grand dodécahémicosaèdre grand icosihémidodécaèdre cuboctaèdre cubitronqué grand cuboctaèdre tronqué grand dodécaèdre tronqué petit dodécaèdre étoilé tronqué grand dodécaèdre étoilé tronqué grand icosaèdre tronqué grand dodécicosaèdre grand rhombidodécaèdre icosidodécadodécaèdre petit dodécicosidodécaèdre ditrigonal grand dodécicosidodécaèdre ditrigonal grand dodécicosidodécaèdre petit icosicosidodécaèdre rhombidodécadodécaèdre grand rhombicosidodécaèdre uniforme dodécadodécaèdre adouci dodécadodécaèdre adouci inversé grand icosidodécaèdre adouci grand icosidodécaèdre adouci inversé grand icosidodécaèdre rétroadouci grand dodécicosidodécaèdre adouci icosidodécadodécaèdre adouci petit icosicosidodécaèdre adouci petit icosicosidodécaèdre rétroadouci grand dirhombicosidodécaèdre dodécadodécaèdre icositronqué dodécadodécaèdre tronqué grand icosidodécaèdre tronqué
Semi-réguliers étoilés prismatiques infinité	prisme pentagrammique antiprisme pentagrammique prisme heptagrammique (7/3) prisme heptagrammique (7/2) antiprisme pentagrammique croisé antiprisme heptagrammique (7/2) antiprisme heptagrammique (7/4) antiprisme heptagrammique (7/2) croisé antiprisme heptagrammique (7/4) croisé
Polyèdre de Skilling ^c	grand dirhombidodécaèdre disadouci
Autres classes de polyèdres notables : solides de Catalan bipyramides trapèzoèdres solides de Johnson Notes : ^aListe de H.S.M. Coxeter plus le solide de Skilling. Selon l'acceptation ou non de polyèdres particuliers (à faces passant par le centre, à arêtes dégénérées, à faces dont les deux côtés sont visibles, etc.), le nombre de polyèdres étoilés uniformes non réguliers (hors séries prismatiques) peut varier de 20 à 94 (54 dans la présente liste). ^bInclut les polyèdres dont les faces passent par le centre (leur nom comprend l'affixe « hémi »).^cParfois exclu des polyèdres uniformes car certaines de ses arêtes coïncident.