Après la fin de ses études secondaires, en 1975, il travaille dans le domaine social, puis se forme au journalisme en 1987. Quatre ans plus tard, il fonde l'école de management KaosPilots, dont il conserve la direction jusqu'en 2006. Il est nommé, en 2007, directeur des Outgames mondiaux, qui se tiennent en 2009 à Copenhague[1].
En , il quitte le Parti social-libéral puis, en , crée un nouveau parti écologiste, L'Alternative[5],[6]. En , le parti obtient le nombre de signatures suffisantes pour se présenter aux élections législatives[7]. Lors des élections du 18 juin 2015, le parti remporte 4,8% des voix et Elbæk est réélu pour un second mandat[8].
En vue des élections législatives de 2019, il se déclare lui-même candidat au poste de Premier ministre, plutôt que de soutenir la candidature de la présidente des sociaux-démocrates comme en 2015[9]. Il est réélu pour un troisième mandat lors du scrutin du , au cours duquel son parti recule et ne gagne que cinq sièges[10].
En , il annonce son départ de la direction de L'Alternative[11]. Josephine Fock est élue pour lui succéder le [12]. Le , il quitte le parti avec trois autres députés, sur fond de désaccords avec la nouvelle direction[13]. Il fait ensuite partie des membres fondateurs des Verts indépendants, un parti fondé en par d'anciens membres de L'Alternative[14]. Il annonce à cette occasion qu'il ne sera pas candidat à un nouveau mandat lors des prochaines élections législatives[15].
En , avec la députée Katarina Ammitzbøll, ainsi que Thomas Rohden et Anders Storgaard, deux jeunes responsables d'une organisation critique de la Chine, il aide Ted Hui(en), élu d'opposition à Hongkong sous le coup de poursuites pénales, à quitter le territoire pour s'exiler, une action formellement condamnée par la Chine. En raison de son implication, les services de renseignements danois lui ont recommandé de ne pas se rendre en Chine ou dans un pays disposant d'un traité d'extradition avec elle[16].
En , il appelle à la fusion des Verts indépendants avec L'Alternative. Face au refus de la direction de son parti, il annonce ré-adhérer à son ancienne formation[17]. Il quitte son mandat parlementaire après les élections anticipées du .