ビーティ数列

正の無理数 r はビーティ列 ℬ_r ≔ ⌊r⌋, ⌊2r⌋, ⌊3r⌋, … を生成する。

r > 1 ならば s ≔ r/r − 1 もまた 1 より大きい無理数で、これら2つは等式 1/r + 1/s = 1 を満たす。これらが生成する2つのビーティ列 ℬ_r, ℬ_s はビーティ列の相補対を成す。ここに「補」("complementary") は任意の正整数がこれら2つの列のうちどちらかちょうど1つに属することを意味している。

（例1）

r ≔ φ を黄金比とすれば、s = φ + 1 (= φ²) である。これに対するビーティ数列の内、(⌊nr⌋) は下ワイソフ列

1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, …（オンライン整数列大辞典の数列 A000201）

であり、補列 (⌊ns⌋) は上ワイソフ列

• 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, …（A001950）

である。これらの列はワイソフのゲームの必勝形を与え、ワイソフ配列（英語版）の定義に用いられる。

（例2）

r ≔ √2 とすると、s = 2 + √2 となる。これに対するビーティ数列は

• 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, …（A001951）;
• 3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, …（A001952）.

（例3）

r ≔ π とすると、s = π/π − 1 となる。これに対するビーティ数列は

• 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, …（A022844）;
• 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, …（A054386）.

ビーティ列がその名で呼ばれるようになるのは、1926年に雑誌 American Mathematical Monthly（英語版）においてサミュエル・ビーティ（英語版） が提起した問題に由来する^[1][2]。この問題はおそらく、その雑誌に提案された中でも最も引用される問題の一つである。しかし、それよりもずっと以前の1894年に、同じ数列がレイリーの著書 The Theory of Sound^[3]の第二版で簡単に言及されている。

レイリーの定理（またはビーティの定理）とは、与えられた任意の無理数 r > 1 に対し、無理数 s > 1 が存在して、2つのビーティ列 ℬ_r, ℬ_s は正整数全体の成す集合を分割し、各正整数はこの2つの整数列のうちちょうど一方に属する^[3]:123という定理である。

命題

m ∈ ℬ_r となるための必要十分条件は

${\displaystyle 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}}$

なることである。ここに、[x]₁ は c の小数部分 [x]₁ ≔ x − ⌊x⌋ である。

証明：

${\displaystyle {\begin{aligned}m\in {\mathcal {B}}_{r}&\iff \exists n,m=\lfloor nr\rfloor \iff m<nr<m+1\\&\iff {\frac {m}{r}}<n<{\frac {m}{r}}+{\frac {1}{r}}\iff n-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<n\iff 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}.\end{aligned}}}$

さらに言えば、${\displaystyle m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor }$ なる条件とも同値である。

証明：

${\displaystyle {\begin{aligned}m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor &\iff m<\left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r<m+1\\&\iff {\frac {m}{r}}<\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1<{\frac {m+1}{r}}\iff \left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\\&\iff 1-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}-\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor =\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}.\end{aligned}}}$

無理数 r に付随するビーティ列 ℬ_r の第一階差 ⌊(n + 1)r⌋ − ⌊nr⌋ は、字母集合 {⌊r⌋, ⌊r⌋ + 1} 上の特性スツルム語（英語版）である。

ランベック–モーザーの定理（英語版）はレイリーの定理を一般化するもので、整数函数およびその逆函数から定義されるより一般の列の対が、同じ整数全体の集合の分割性質を持つことを示す。

ウスペンスキー（英語版）の定理は、正の実数 α₁, …, α_n に対し (⌊kα_i⌋)_k,i≥1 が全ての整数をちょうど一つずつ含むならば n ≤ 2 であることを述べる。つまり、3つ以上のビーティ列の組に関するレイリーの定理と同等の定理は存在しない^[4][5]。