フォイアス定数

フォイアス定数^[1]（フォイアスていすう、英: Foias constant）は、ルーマニア-アメリカの数学者チプリアン・フォイアシュ（英語版、ルーマニア語版）に因んで命名された実数の数学定数である。

正の実数x₁を与え、次の漸化式によって数列{x_n}を定める。 $${\displaystyle x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{n}}$$ {x_n}が無限にのみ発散するx₁がただ一つ存在する。このときのx₁をフォイアス定数という。x₁がフォイアス定数と異なるときも数列は発散するが、その極限点には∞の他に1が含まれる^[2]。フォイアス定数の値はおよそ $${\displaystyle \alpha =1.187452351126501\ldots }$$ である^[3]。閉じた形（英語版）は知られていない。

x₁ = αであるとき、数列の成長率（英語版）について次の式が成立する^[2]。π(x)は素数計数関数、ln(x)は自然対数である。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{\pi (n)}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}{\frac {\ln {n}}{n}}=1}$$

フォイアス定数の一意性の証明法は、同様の他の回帰数列においても使用されている^[4]。