ラグランジュの定理 (群論)

群 G の要素 x, y に関して、群 G の部分群 H の要素 h を用いて、x = yh となるとき、x ～ y と定義する。G の単位元を e とすると、H は部分群だから e ∈ H であり、x = xe となるので、x ～ x である。h ∈ H のとき、H は部分群だから h⁻¹ ∈ H となるので、x ～ y のとき、x = yh ⇔ xh⁻¹ = y となり y ～ x である。x, y, z ∈ G に関して、x ～ y, y ～ z ならば x = yh₁, y = zh₂ (h₁, h₂ ∈ H) だから x = (zh₂)h₁ = z(h₂h₁) となる。H は部分群なので、h₂h₁ ∈ H となるから x ～ z である。したがって、～ は同値関係になる^[5][6][7][8]。

部分群 H に関して、同値関係 ～ による同値類 {x ∈ G | x ～ a} は {x ∈ G | x = ah (h ∈ H)} になるから、aH に等しくなる。これを a の H による左剰余類（left coset）という。同値関係 ～ による同値類 aH の集合 {aH | a ∈ G} を G/H と書く^[9][6][10]。

部分群 H が有限群の場合は H = {h₁, h₂, h₃, …, h_m} と表すことができて、左剰余類 aH は aH = {ah₁, ah₂, ah₃, …, ah_m} となる^[2]。

部分群 H から同値類 aH への写像 φ_a : H → aH を φ_a(h) = ah と定義するとき、φ_a(h₁) = φ_a(h₂) とすると、ah₁ = ah₂ となるから、左から a⁻¹ を掛けて h₁ = h₂ となるので、写像 φ_a は単射になる。写像 φ_a による部分群 H の像が aH だから写像 φ_a は全射になり、全単射になる。したがって、写像 φ_a の逆写像 φ_a⁻¹: aH → H は φ_a⁻¹(x) = a⁻¹x となる。これより、同値類 aH から同値類 bH への写像 f : aH → bH を f (x) = (φ_b⚬φ_a⁻¹)(x) = φ_b(φ_a⁻¹(x)) = ba⁻¹x と定義すると写像 f は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 aH と bH は同型となり、|aH| = |bH| = |H| となる^[9][11]。

左剰余類の集合 G/H の要素の個数（濃度）である |G/H| を G における H の指数（index of a subgroup H in a group G）と呼び、[G : H] または |G : H| または (G : H) と書く^[5][6][12]。

G/H が有限集合の場合は、G/H = {a₁H, a₂H, a₃H, …, a_kH} と表すことができて、[G : H] = |G/H| = k となる。

G が有限群の場合は、以下のように書ける^[2]：

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=\{h_{1},h_{2},h_{3},\dotsc ,h_{m}\},\\a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\dotsc ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\dotsc ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\dotsc ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\dotsc ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\dotsc ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}}$

有限群 G の部分群 H を {h₁, h₂, …, h_m} とすると、

${\displaystyle H=\{h_{1},h_{2},h_{3},\dotsc ,h_{m}\}.}$

左剰余類 aH は {ah₁, ah₂, ah₃, …, ah_m} に等しくなる^[13]ので、

${\displaystyle aH=\{ah_{1},ah_{2},ah_{3},\dotsc ,ah_{m}\}.}$

このとき、H の要素 h に ah を対応させる写像を f：H → aH とすると、f(h_i) = f(h_j) ⇔ ah_i = ah_j のとき、左から a⁻¹ を掛けて、h_i = h_j となるので、写像 f は単射になる。

写像 f は H を aH に写すから f は全射となるので、全単射になる。したがって、 H と aH とは同じ個数の要素を待つから、|H| = |aH| = m となる^[14]。

したがって、G の H による類別を考えると、以下のようになる^[15]。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\dotsc ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\dotsc ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\dotsc ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\dotsc ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\dotsc ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}}$

このとき、|H| = |a₁H| = |a₂H| = |a₃H| = … = |a_kH| = m となるので、|G| = km となる。k = |G/H| = [G : H], m = |H| となるので、

${\displaystyle |G|=[G:H]\cdot |H|.}$

Q.E.D.

ラグランジュの定理は群 G における3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる^[16][17]。 以下では、H が群 G の部分群であるとき、H ≤ G または G ≥ H と表し、H が群 G の部分群であり、かつ K が群 H の部分群であるとき、K ≤ H ≤ G または G ≥ H ≥ K と表す。

G ≥ H ≥ K のとき K = {e} （e は群 G の単位元）とおくと [G : {e}] = |G| および [H : {e}] = |H| が成り立つ。したがって、元々の等式 |G| = [G : H] |H| を得る^[18]。

ラグランジュの定理には、次のような系がある^[19][2][20]。

証明

G が有限群の場合は、指数 [G : H]（G における H の左剰余類の個数）が正の整数になるので、ラグランジュの定理から系が従う。

証明

群 G の任意の元 g で生成される巡回群 ⟨g⟩を考えればよい。巡回群 ⟨g⟩は G の部分群になるので、その位数 |⟨g⟩| は群 G の位数 |G| を割り切ることになる。

証明

p ≧ 2 より、群 G の単位元 e 以外の元を x とすると、x が生成する巡回群 ⟨x⟩ は群 G の部分群になるから、その位数 |⟨x⟩| は素数 p の約数になる。したがって、|⟨x⟩| = 1 または |⟨x⟩| = p になる。|⟨x⟩| = 1 の場合は、x = e となり不適。|⟨x⟩| = p の場合は群 G の位数と等しくなるので、G = ⟨x⟩ となり題意は示された。

証明

位数 p の巡回群 (ℤ/pℤ) の乗法群 (ℤ/pℤ)^× = {1, 2, 3, … , p − 1} は位数 p − 1 の有限群になるから、(ℤ/pℤ)^× の任意の元を a とすると、ラグランジュの定理の系(2) より、a ^{p − 1} = 1 が成り立つ。したがって、a ∈ {1, 2, 3, …, p − 1} のとき a ^{p − 1} − 1 が素数 p で割り切れるから、a ^{p − 1} ≡ 1 (mod p) となる。よって、x ≡ a (mod p) のとき、x ^{p − 1} ≡ a ^{p − 1} (mod p) が成り立つので、x ^{p − 1} ≡ 1 (mod p) を得る。

より一般に、合成数 n についても乗法群 (ℤ/nℤ)^× を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。

ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 n の有限群 G と n を割り切る自然数 d が与えられたとき「位数が d である G の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 G = A₄ が位数6である部分群をもたないので^{[注釈 1]}、（群 G の位数が最小の）反例を与えるからである^[25]。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である^{[注釈 2]}。つまり位数 n を割り切る素数 p のべきで最大のもの d = n_p を考えると、位数 n_p の部分群（シロー部分群）が存在する。もうすこし一般に d が n_p を割り切るならば、位数 d の部分群が存在することもわかる^[26]。（コーシーの定理も参照のこと。）

ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。