ランプライター群

この群の名前は、点灯または消灯のいずれかの状態をとり得る両側無限の街灯の列 ${\displaystyle \dots ,l_{-1},l_{0},l_{1},l_{2},\dots }$ と、ある街灯 ${\displaystyle l_{k}}$ の位置に立つ点灯夫（英語版）に作用する群とみなせることに由来する。これと同値な記述として、${\displaystyle L}$ の base group^{[訳語疑問点]} ${\displaystyle B}$ と呼ばれるものは、以下のように表される。

${\displaystyle B=\bigoplus _{-\infty }^{\infty }\mathbb {Z} _{2},}$

これは巡回群 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ のコピーの無限直和であり、ここで ${\displaystyle 0}$ は消灯している街灯に、${\displaystyle 1}$ は点灯している街灯に対応する。また、同時に点灯している街灯が有限個のみであることを保証するために直和が用いられている。${\displaystyle L}$ の任意の元の作用は最大でも有限個の街灯しか変化させないため、常に有限個の街灯のみが点灯していると仮定してよい。ただし、点灯している街灯の数に上限はない。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ の元は点灯夫の位置を与え、${\displaystyle B}$ はどの電球が点灯しているかを符号化している。

この群には2つの生成元が存在する。生成元 ${\displaystyle t}$ は ${\displaystyle k}$ を増加させ、点灯夫を次の街灯へ移動させる（${\displaystyle t^{-1}}$ は ${\displaystyle k}$ を減少させる）。一方、生成元 ${\displaystyle a}$ は街灯 ${\displaystyle l_{k}}$ の状態が変化する（消灯から点灯へ、または点灯から消灯へ）ことを意味する。群の乗法は、これらの操作を「連続して行う」ことによってなされる。

ランプライター群の標準的な表示は、輪積の構造から導かれる。

${\displaystyle \langle a,t\mid a^{2},[t^{m}at^{-m},t^{n}at^{-n}],m,n\in \mathbb {Z} \rangle }$,

これは以下のように簡略化できる。

${\displaystyle \langle a,t\mid a^{2},(at^{n}at^{-n})^{2},n\in \mathbb {Z} \rangle }$.

この群の増大度（英語版）、すなわち各 ${\displaystyle n}$ に対して ${\displaystyle n}$ 個の生成元の積として形成できる群の元の数を記述する関数は、一般にこれら2つの生成元 ${\displaystyle a}$ と ${\displaystyle t}$ に関して定義される。これは黄金比を底とする指数関数的なものであり、フィボナッチ数の増大度と同じ割合である^[1]。場合によっては、2つの異なる生成元 ${\displaystyle a}$ と ${\displaystyle at}$ に関して増大度が研究されることもあり、この場合、増大度の対数は最大で2倍変化する。

この表示は有限ではない。指標 ${\displaystyle m}$ と ${\displaystyle n}$ によって指定されるように、無限に多くの関係式を持つ。実際、ランプライター群には有限表示が存在しない。すなわち、有限表示可能ではない。

${\displaystyle x}$ を形式的変数とすると、ランプライター群 ${\displaystyle L}$ は以下の行列からなる群と同型である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{k}&p\\0&1\end{pmatrix}},}$

ここで ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ であり、${\displaystyle p}$ は係数環 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ 上のローラン多項式環 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x,x^{-1}]}$ のすべての元にわたる^[2]。

この同型写像は、生成元に対して以下のように与えられる。

${\displaystyle t\mapsto {\begin{pmatrix}x&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \quad a\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$