圧力係数

圧力係数は、水や空気など、非圧縮性および圧縮性の両方の流体の研究に用いられるパラメータである。無次元係数と次元のある物理量との関係は以下のとおりである^[3][4]：

${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}$

ここで、

${\displaystyle p}$：評価点の静圧

${\displaystyle p_{\infty }}$：自由流^{[注釈 1]}（例：遠方の未攪乱流）の静圧

${\displaystyle \rho _{\infty }}$：自由流の密度（例：15°C、海面の空気は1.225 kg/m³）

${\displaystyle V_{\infty }}$ ：自由流の速度、または物体の流体中の速度

ベルヌーイの定理を用いることで、ポテンシャル流（非粘性・定常流）において圧力係数は次のように簡略化できる：^[5]

${\displaystyle C_{p}|_{M\,\approx \,0}={p-p_{\infty } \over p_{0}-p_{\infty }}={1-{\bigg (}{\frac {u}{u_{\infty }}}{\bigg )}^{2}}}$

ここで、

${\displaystyle u}$ ：評価点の流速

${\displaystyle M}$：マッハ数（極限では0）

${\displaystyle p_{0}}$：よどみ点圧力

この式は、速度と圧力の変動が小さく、密度変化を無視できる非圧縮性流体において有効である。一般にマッハ数が0.3未満の流れではこの近似が成り立つとされる。

• ${\displaystyle C_{p}=0}$ ：圧力が自由流圧力と等しい
• ${\displaystyle C_{p}=1}$ ：よどみ点圧力
• 液体の流れにおける${\displaystyle C_{p}}$ の最小値をキャビテーション数に加えることで、キャビテーションマージンを算出できる。マージンが正の場合、流れは局所的に完全に液体であり、ゼロまたは負の場合、流れはキャビテーションあるいは気体である。

例えば、グライダー設計では ${\displaystyle C_{p}=-1}$ となる場所が「全エネルギーポート」の位置として適しており、バリオメーター（垂直速度計）への圧力供給に用いられる。

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

空気のような圧縮性流体の高速流では、動圧（${\displaystyle {{\frac {1}{2}}\rho v^{2}}}$）がよどみ点圧力と静圧の差を正確に表さなくなる。また、よどみ点圧力=全圧の関係も断熱でない限り必ずしも成立しない（例：衝撃波の存在）。そのため、圧縮性流では圧力係数が1を超えることがある^[6]。

圧力係数 ${\displaystyle C_{p}}$ は、非渦流かつ等エントロピーの流れにおいて、速度ポテンシャル ${\displaystyle \Phi }$ および摂動ポテンシャル ${\displaystyle \phi }$ を自由流速度 ${\displaystyle u_{\infty }}$ で標準化することで表せる：

${\displaystyle \Phi =u_{\infty }x+\phi (x,y,z)}$

ベルヌーイの定理より

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$

音速 ${\displaystyle a}$ を用いて

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {a^{2}}{\gamma -1}}={\text{constant}}}$

圧力係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {a}{a_{\infty }}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}({\frac {u_{\infty }^{2}}{2}}-\Phi _{t}-{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}})+1\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx {\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1-{\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}(\phi _{t}+u_{\infty }\phi _{x})\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx -{\frac {2\phi _{t}}{u_{\infty }^{2}}}-{\frac {2\phi _{x}}{u_{\infty }}}\end{aligned}}}$

ここで、${\displaystyle a_{\infty }}$ は自由流中の音速である。

古典的なピストン理論は強力な空気力学的手法であり、運動方程式と等エントロピー摂動の仮定を用いることで、次のような表面圧力の基本式が得られる：

${\displaystyle p=p_{\infty }\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}}$

ここで、${\displaystyle w}$はダウンウォッシュ速度、${\displaystyle a}$は音速である。このときの圧力係数は：

${\displaystyle C_{p}={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]}$

表面は次のように定義される。

${\displaystyle F(x,y,z,t)=z-f(x,y,t)=0}$

滑り条件より境界条件が得られる：

${\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}(u_{\infty }+\phi _{x},\phi _{y},\phi _{z})=V_{\text{wall}}\cdot {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}=-{\frac {\partial F}{\partial t}}{\frac {1}{|\nabla F|}}}$

ダウンウォッシュ速度${\displaystyle w}$は以下のように近似できる。

${\displaystyle w={\frac {\partial f}{\partial t}}+u_{\infty }{\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

極超音速領域において、圧力係数は、ニュートンの粒子理論を用いて正確に計算することができる。この理論は低速流には不正確だが、以下の3つの仮定に基づいて高速度域での物体周りの流れを記述する：^[7]

1. 流れは直線運動する粒子の流れとしてモデル化できる
2. 表面に衝突したとき、法線方向の運動量はすべて失われる
3. 接線方向の運動量は保存され、流れは物体の形状に沿って流れる

自由流速度 ${\displaystyle V_{\infty }}$ の流れが、表面積 A を持つ面に衝突し、その面が自由流に対して角度 ${\displaystyle \theta }$ をなしている場合、法線方向の速度成分は ${\displaystyle V_{\infty }\sin \theta }$ である。また、その表面に衝突する質量流束は ${\displaystyle \rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta }$ である（ここで ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ は自由流の密度）。

このとき、ニュートンの運動の第2法則より、面に加わる力（運動量流束）は次のようになる。

${\displaystyle F=(\rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta )(V_{\infty }\sin \theta )=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}A\sin ^{2}\theta }$

これを面積 A で割ると、単位面積あたりの力、すなわち面圧（圧力差）は以下のようになる。

${\displaystyle {\frac {F}{A}}=p-p_{\infty }=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}\sin ^{2}\theta \implies {\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}=2\sin ^{2}\theta }$

この最後の式は圧力係数の定義と一致している。したがって、ニュートン理論は極超音速流における圧力係数を次のように予測する。

${\displaystyle C_{p}=2\sin ^{2}\theta }$

非常に高速の流れ、かつ鋭い表面を持つ物体に対して、このニュートン理論は非常に良い近似を与える。

丸みを帯びた物体に対して、レスター・リーズはニュートン理論を修正した理論を提案した。

${\displaystyle C_{p}=C_{p,\max }\sin ^{2}\theta }$

ここで ${\displaystyle C_{p,\max }}$は正衝撃波の直後にあるよどみ点における最大圧力係数である。

${\displaystyle C_{p,\max }={\frac {p_{o}-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}={\frac {p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)}$

ここで ${\displaystyle p_{o}}$ はよどみ点圧力、${\displaystyle \gamma }$ は比熱比である。この式は理想気体の状態方程式 ${\displaystyle p=\rho RT}$、マッハ数${\displaystyle M=V/a}$、音速 ${\displaystyle a={\sqrt {\gamma RT}}}$ を用いて得られる。

カロリック的に完全な気体に対するレイリー・ピトー管の式によれば、よどみ点圧力と自由流圧の比は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]}$

したがって、修正ニュートン理論における最大圧力係数 ${\displaystyle C_{p,\max }}$は

${\displaystyle C_{p,\max }={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left\{\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]-1\right\}}$

また、極限${\displaystyle M_{\infty }\rightarrow \infty }$で

${\displaystyle C_{p,\max }=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}}{4\gamma }}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left({\frac {4}{\gamma +1}}\right)}$

さらに、${\displaystyle \gamma \rightarrow 1}$ の極限では、${\displaystyle C_{p,\max }=2}$ となり、これは非常に高速度域におけるニュートン理論の圧力係数と一致する。修正ニュートン理論は、丸みを帯びた物体に対する圧力分布の計算において、従来のニュートン理論よりも大幅に正確である^[8]。

ある迎角で飛行する翼型の周囲には、いわゆる圧力分布が存在する。この圧力分布とは、翼型の周囲各点における圧力係数 ${\displaystyle C_{p}}$ の値のことである。

このような圧力分布は、グラフで視覚的に表現されることが多く、通常は負の数値がグラフの上側に表示される。これは、翼の上面における ${\displaystyle C_{p}}$ がより負の値を持つ（すなわち圧力が低い）ことを示すためであり、その結果、上面の曲線がグラフの上側に描かれる。