第一ハーディ・リトルウッド予想

正の偶数 ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$ について、数列 ${\displaystyle P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})}$ の各数は、いかなる素数に対しても完全剰余類をなさないものとする。また、 ${\displaystyle \pi _{P}(n)}$ を ${\displaystyle p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k}}$ がすべて素数となるような、 ${\displaystyle n}$ 未満の素数 ${\displaystyle p}$ の個数とする。すると以下の漸化式が成り立つという予想である。^[1][3]

${\displaystyle \pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},}$

ここで

${\displaystyle C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}}$

は奇素数全体をわたる積であり、 ${\displaystyle w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}$ は ${\displaystyle 0,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$ をmod ${\displaystyle q}$ で見たときの異なる剰余の個数とする。

特に ${\displaystyle k=1}$ 、 ${\displaystyle m_{1}=2}$ の場合は双子素数予想に関連する。このとき ${\displaystyle \pi _{2}(n)}$ は n より小さい双子素数の数を表す。このとき、

${\displaystyle \pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},}$

ここで

${\displaystyle C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\right)\approx 1.320323632\ldots }$

は双子素数定数。^[3]

素数 k-組に対するスキューズ数は第一ハーディ・リトルウッド予想に基づいて、スキューズ数の定義を素数 k-組に拡張したものである。k-組 P についてハーディ・リトルウッド不等式を満たさない最初の素数 p 、すなわち、

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

を満たす(p がもし存在すれば) 最小の素数が素数 k-組に対するスキューズ数である。^[3]

この予想は、第二ハーディ・リトルウッド予想と矛盾することが示されている。^[4]