Prime k-tuple

Prime k-tupleとは、p_nをn番目の素数とすると、p_n+k−1 − p_nが最小になるk個の素数の組のことをいう。

最短のk-tupleのいくつかは、他の一般名で知られている。

(0, 2)	双子素数
(0, 4)	いとこ素数
(0, 6)	セクシー素数
(0, 2, 6), (0, 4, 6)	三つ子素数
(0, 6, 12)	セクシー素数の三つ組
(0, 2, 6, 8)	四つ子素数
(0, 6, 12, 18)	セクシー素数の四つ組
(0, 2, 6, 8, 12), (0, 4, 6, 10, 12)	五つ子素数
(0, 4, 6, 10, 12, 16)	六つ子素数

許容性

k-tupleがそのすべての値が素数である無限に多くの位置を持つために、tupleがpを法とするすべての異なる可能な値を含むような素数pが存在することはできない。なぜなら、そのような素数pが存在する場合、nのどの値が選択されても、tupleにnを追加することによって形成される値の1つはpで割り切れるので、素数の配置は有限にしか存在できない (pを含むもののみ)。たとえば、k-tupleは、3を法とする0、1、および2の3つの値すべてを取ることはできない。そうしないと、結果の数値には常に3の倍数が含まれるため、数値の1つが3自体でない限り、すべてが素数になることはない。この条件を満たすk-tuple (つまり、 pを法とするすべての異なる値をカバーするpがない)は、許容可能と呼ばれる。

例えば、(n, n + 1) のうち1つは2の倍数なので、許容可能なPrime 2-tuple (双子素数)は、(p, p + 2)である。
(n, n + 2, n + 4) のうち1つは3の倍数なので、許容可能なPrime 3-tuple (三つ子素数)は、(p, p + 2, p + 6), (p, p + 4, p + 6)である。

すべての許容可能なPrime k-tupleは、無数に存在するだろうと予想されている。ただし、Prime 1-tupleを除いて、これが証明されている許容可能なPrime k-tupleはない。

最小のPrime k-tuple

最初のいくつかのPrime k-tupleは次のとおりである。dは、p_nをn番目の素数とすると、d = p_n+k−1 − p_nで、許容可能であるものとする。

k	d	Prime k-tupleのパターン	最小の組
2	2	(0, 2)	(3, 5)
3	6	(0, 2, 6) (0, 4, 6)	(5, 7, 11) (7, 11, 13)
4	8	(0, 2, 6, 8)	(5, 7, 11, 13)
5	12	(0, 2, 6, 8, 12) (0, 4, 6, 10, 12)	(5, 7, 11, 13, 17) (7, 11, 13, 17, 19)
6	16	(0, 4, 6, 10, 12, 16)	(7, 11, 13, 17, 19, 23)
7	20	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) (5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)
8	26	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26) (0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
9	30	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30) (0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) (88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)

kの関数としてのdは、オンライン整数列大辞典の数列 A008407である。

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p - 1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) 四次 ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能循環切り捨て可能ストロボグラマティック素数 Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧

許容性

最小のPrime k-tuple

等差数列の素数

Prime k-tupleの例

関連項目

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