Ε均衡

ゲームと非負の実数 ε とを所与として，戦略プロファイルが ε 均衡であるとは，どのプレーヤーにとっても，自分の戦略からの単独での逸脱によって，期待利得を ε より大きく改善することができないことをいう。任意のナッシュ均衡は，ε = 0 の場合の ε 均衡に等しい。

形式的に書こう。N 人のプレーヤーがいて，各プレーヤーの行動集合が ${\displaystyle A_{i}}$, 効用関数が u であるようなゲームを ${\displaystyle G=(N,A=A_{1}\times \cdots \times A_{N},u:A\to \mathbb {R} ^{N})}$ とする。戦略の組 ${\displaystyle \sigma \in \Delta =\Delta _{1}\times \cdots \times \Delta _{N}}$ が G の ε 均衡であるとは，

${\displaystyle u_{i}(\sigma )\geq u_{i}(\sigma _{i}',\sigma _{-i})-\varepsilon \;{\mbox{for all}}\;\sigma _{i}'\in \Delta _{i},i\in N}$

であるときをいう。

ε 均衡の概念は，無限に継続する可能性のある確率ゲームの理論において重要である。ナッシュ均衡が存在しないが，0 より厳密に大きい任意の ε について ε 均衡が存在するような，簡単な確率ゲームの例がある。

おそらくもっとも簡単な例は，エヴェレットにより提案された，次のようなマッチングペニーの変種だろう。プレーヤー 1 はペニー硬貨を隠し，プレーヤー 2 はそれが表か裏かを推測する。プレーヤー 2 が正しく当てたならば，プレーヤー 1 からペニーをもらってゲームが終了する。プレーヤー 2 が，表と推測して外したならば，両プレーヤーの利得を 0 としてゲームが終了する。プレーヤー 2 が裏と推測して外したならば，ゲームは繰りかえす。もしゲームが永久に続くならば，両プレーヤーの利得は 0 になる。

パラメータ ε > 0 を所与として，プレーヤー 2 が，(ゲームのステージによらず，それ以前のステージとも独立に) 表を確率 ε, 裏を確率 1 − ε と推測するような任意の戦略プロファイルは，このゲームの ε 均衡になる。このような戦略プロファイルにおけるプレーヤー 2の 期待利得は少なくとも 1 − ε になる。しかし，ちょうど 1 の期待利得を保証するようなプレーヤー 2 の戦略は存在しないことが簡単にわかる。したがって，このゲームはナッシュ均衡をもたない。

べつの簡単な例として，T 期間の有限回繰りかえし囚人のジレンマを考え，利得は T 期間の平均で与えられるものとしよう。このゲームの唯一のナッシュ均衡は，各期において裏切りを選ぶというものである。ここで，2 つの戦略，しっぺ返し戦略とグリムトリガーを考えよう。しっぺ返しもグリムトリガーもこのゲームのナッシュ均衡にならないが，どちらもある正なる ε について ε 均衡になる。ε の許容される値は，ステージゲーム利得と繰りかえしの期間数 T に依存する。

経済学において，純粋戦略 ε 均衡の概念は，混合戦略によるアプローチが現実的でないとみなされるときに使われている。純粋戦略 ε 均衡においては，各プレーヤーは，最適な純粋戦略から ε 以内だけ離れた純粋戦略を選択する。例として，ベルトラン・エッジワースモデル（英語版）においては，純粋戦略均衡は存在しないが，純粋戦略 ε 均衡は存在しうる。

• Dixon, H Approximate Bertrand Equilibrium in a Replicated Industry, Review of Economic Studies, 54 (1987), pages 47-62.
• H. Everett. "Recursive Games". In H.W. Kuhn and A.W. Tucker, editors. Contributions to the theory of games, vol. III, volume 39 of Annals of Mathematical Studies. Princeton University Press, 1957.
• Leyton-Brown, Kevin; Shoham, Yoav (2008), Essentials of Game Theory: A Concise, Multidisciplinary Introduction, San Rafael, CA: Morgan & Claypool Publishers, ISBN 978-1-59829-593-1, http://www.gtessentials.org . An 88-page mathematical introduction; see Section 3.7. Free online at many universities.
• R. Radner. Collusive behavior in non-cooperative epsilon equilibria of oligopolies with long but finite lives, Journal of Economic Theory, 22, 121-157, 1980.
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009), Multiagent Systems: Algorithmic, Game-Theoretic, and Logical Foundations, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89943-7, http://www.masfoundations.org . A comprehensive reference from a computational perspective; see Section 3.4.7. Downloadable free online.
• S.H. Tijs. Nash equilibria for noncooperative n-person games in normal form, Siam Review, 23, 225-237, 1981.