リスク支配

下の利得行列で表されたゲームが協調ゲームであるとき、(行プレイヤーの利得に関して) ${\displaystyle A>B,D>C}$、(列プレイヤーの利得に関して)${\displaystyle a>b,d>c}$の二つの不等式条件が成り立つ。戦略のペア (H,H) と (G,G) の二つのみが純粋戦略ナッシュ均衡であることが分かる. 加えて一つの 混合戦略ナッシュ均衡が存在し、それは行プレイヤーが${\displaystyle p=(d-c)/(a-b-c+d)}$の確率で戦略 H、1−p の確率で戦略 G、列プレイヤーが${\displaystyle q=(D-C)/(A-B-C+D}$)の確率で戦略 H、1−q の確率で戦略 G をプレイすることである。

戦略の組み合わせ (H,H) は${\displaystyle A\geq D,a\geq d}$かつ、${\displaystyle A>D}$または${\displaystyle a>d}$が成り立っているとき (G,G) を利得支配する。戦略の組み合わせ (G,G) は、ある戦略の組み合わせから逸脱したときの各プレイヤーの損失の積が、${\displaystyle (G,G)}$の場合のときが最も高いなら (H,H) をリスク支配 する(Harsanyi & Selten 1988, Lemma 5.4.4)。言い換えると, 不等式条件${\displaystyle (D-C)(d-c)\geq (B-A)(b-a)}$が成り立つことである. この不等式条件が強い場合(不等号記号が >)、(G,G) は (H,H) を強くリスク支配するという²。

${\displaystyle A=a,B=b}$等となっている対称ゲームの場合、不等式条件は以下のようなシンプルな解釈を与えてくれる。プレイヤーは他のプレイヤーがどの戦略を選んで確率を付与するか不確かであると仮定する。すると、各プレイヤーが戦略 H と G にそれぞれ確率 1/2 を与えるとすると、戦略 G をプレイすることによる期待利得が戦略 H のそれを上回るとき(${\displaystyle 1/2B+1/2D\geq 1/2A+1/2C}$または単純に ${\displaystyle B+D\geq A+C}$)、(G,G) は (H,H)をリスク支配する。

リスク支配的な均衡を導く他の方法は、全ての均衡の危険因子を計算してそれが最小となる均衡を見つけることである。 前述の2×2ゲームの危険因子を計算してみよう。プレイヤーが戦略 H をプレイするときの期待利得は ${\displaystyle E[\pi _{H}]=pA+(1-p)C}$である（p は他プレイヤーが戦略 H をとる確率)。 戦略 G の場合の${\displaystyle E[\pi _{G}]=pB+(1-p)D}$と比較して、 二つの期待利得を等号で結びつける p の値が均衡 (H,H) の危険因子である。当然、${\displaystyle 1-p}$は${\displaystyle (G,G)}$の危険因子である。p を他のプレイヤーが戦略 G をとる確率とすることで、戦略 ${\displaystyle (G,G)}$をプレイすることによる危険因子を同様に計算できる。 ${\displaystyle p}$は、自分がある相手の戦略を真似することで得る利得が、他の戦略をとったときより高くしたい際に、その戦略をとると最低限保証されなくてはならない相手がその戦略をとる確率である。

行＼列	H	G
H	A,a	C,b
G	B,c	D,d