ヤコビ法 (固有値問題)

対称行列${\displaystyle A=[a_{ij}]\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$が与えられたとき、ヤコビの回転行列${\displaystyle U_{1}=[u_{ij}]}$を次のように定める^[1][2]。

${\displaystyle U_{1}:={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\cos(\theta )&\cdots &\sin(\theta )&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &-\sin(\theta )&\cdots &\cos(\theta )&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}},\quad u_{pp}=u_{qq}=\cos(\theta ),\quad u_{pq}=\sin(\theta ),\quad u_{qp}=-\sin(\theta ).}$

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {-2a_{pq}}{a_{pp}-a_{qq}}},\quad -\pi /4\leq \theta \leq \pi /4.}$

このとき、非対角要素のうちで絶対値最大な要素${\displaystyle a_{pq}}$に対して

${\displaystyle A_{1}:=U_{1}^{t}AU_{1}}$

とおく。以下、

${\displaystyle A_{\nu -1}=U_{\nu -1}^{t}A_{\nu -2}U_{\nu -1}=U_{\nu -1}^{t}\cdots U_{1}^{t}AU_{1}\cdots U_{\nu -1}}$

の非対角要素のうち、絶対値最大な要素に対して順次同じ操作を行って回転行列${\displaystyle U_{\nu }}$を定める。このとき、

${\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }A_{\nu }=D}$

が成り立つ (${\displaystyle D}$は対角行列)^[1][2]。${\displaystyle D}$の対角要素が${\displaystyle A}$の固有値で${\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }U_{i}}$の各列が固有ベクトルを与える^[1][2]。

上記で述べられている絶対値が最大の非対角要素を毎回直交回転で消去し続ける（ヤコビが本来提案したのと同じ）方法を古典ヤコビ法と称する。 電子計算機上での能率の面などから古典法から消去の方針を変更して得られた以下のような変種がある^[1]。

• しきい値ヤコビ法 (${\displaystyle \epsilon _{1}\geq \epsilon _{2}\geq \cdots }$となるようにしきい値${\displaystyle \epsilon _{\nu }>0}$を選び、${\displaystyle |a_{pq}^{(\nu )}|>\epsilon _{\nu }}$なる${\displaystyle a_{pq}^{(\nu )}}$に対して回転を施す)^[1]
• 特別巡回ヤコビ法 (2次収束する)^[1]

そのほかにも算法の並列性を引き出して使う並列化ヤコビ法^[3]や、電子計算機上での記憶参照の局所性を高めるブロック化算法としてのブロック化ヤコビ法もある。

現代ではQR法や可積分アルゴリズムなど、ヤコビ法（古典ヤコビ法）より計算が早くて精度の良い方法が多く存在する^[1][2][4][5]。しかしそれらのほとんどは固有ベクトルを併せて求めることはできないので、逆べき乗法を使う必要がある^[1][2]。そのため現代においても，すべての固有値および固有ベクトルが同時に求められてしかも終盤で2次収束をするヤコビ法（古典ヤコビ法）は重宝されている^{[1][2][6][7][8]}。なお，ヤコビ法は行列が密で実対称の場合ばかりが特に有名であるが，同様の手法で複素エルミート密行列の全固有値全固有ベクトルを求めることができる。なおかつては（一般的には要素が複素数の）非対称な密行列に対する固有値問題に対するヤコビ法も研究されていた。