数値線形代数

数値解析における数値線形代数（すうちせんけいだいすう、英: Numerical linear algebra）とは、線形代数で現れる問題（行列積、行列指数関数、連立方程式や固有値・特異値問題）の計算・求解を行うアルゴリズムを創出するための学問である^[1]^[2]^[3]。最適化問題・有限差分法・有限要素法などに応用されている^[1]。

→「数値解析」および「線形代数」も参照

現代の主流

どんなに次元の高い連立方程式でも、原理的にはクラメルの公式を使えば解くことはできる。しかし、クラメルの公式による数値解法ではものすごく時間がかかってしまうということが分かっている^[1]。このため、これまで様々な数値線形代数のアルゴリズムが開発されてきた^[1]^[2]^[3]。ガウスの消去法はその先駆けとも言える^[1]^[2]^[3]。

→「固有値問題の数値解法」も参照

現代においては

共役勾配法
GMRES法
ランチョス法
QR法
QZ法^{[A 1]}
dqds法 (differential quotient difference with shift)^{[A 2]}^{[A 3]}^{[A 4]}^{[A 5]}^{[A 6]}^{[A 7]}
oqds法 (orthogonal quotient difference with shift)^{[A 8]}^{[A 9]}^{[A 10]}
分割統治法^{[A 11]}^{[A 12]}
MRRR法 (multiple relatively robust representations)^{[A 13]}
MRTR法^{[A 14]}
Sakurai-Sugiura 法^{[A 15]}
CIRR 法 (Rayleigh-Ritz type method with contour integral)^{[A 16]}
離散勾配法に基づく解法^{[A 17]}^{[A 18]}
フィルターを用いた固有値問題の解法^{[A 19]}^{[A 20]}^{[A 21]}^{[A 22]}

などをはじめとした高速・高精度解法（反復法）の研究が主流になっている^[2]^[4]^[5]。

クリロフ部分空間法

→「クリロフ部分空間」も参照

数値線形代数で現れる反復法の中には、クリロフ部分空間に理論的基盤を持つものが少なからず存在する。これらはクリロフ部分空間法（英: Krylov subspace methods）と総称され、数値線形代数において最も成功した手法とされている^[5]。主なクリロフ部分空間法として以下が知られている（共役勾配法については後述する）。

en:Arnoldi iteration
ランチョス法
GMRES法
MINRES法^{[A 23]}（英: minimal residual、この手法は method of minimum residual^[1]^{[A 24]} とは異なる）
CR法^{[A 25]}（共役残差法、英: conjugate residual method）
QMR系
- QMR法^{[A 26]}^{[A 27]}（英: quasi minimal residual、MATLABで利用可能）
- QMR-SYM法^{[A 28]}^{[A 29]}
- TFQMR法^{[A 30]}（英: transpose free quasi minimal residual、MATLABで利用可能）

共役勾配法

→「共役勾配法」、「非線形共役勾配法」、「双共役勾配法」、および「en:LOBPCG」も参照

共役勾配法（英: conjugate gradient method）は Hestenes-Stiefel によって開発された連立方程式の数値解法であり、係数行列が正定値対称行列であるときに適用できる^{[A 31]}。この方法はガウス＝ザイデル法、ヤコビ法、SOR法よりも収束が速いとされることから、1980年代以降から様々な亜種が開発されたり、非対称行列への適用が試みられているが、前処理行列の取り方が問題によって異なるために決定版と言える解法がまだ存在してない^[1]^[2]^[5]。

以下、代表的な亜種を挙げる。

CGS (conjugate gradient squared method)^{[A 32]}
PCG （preconditioned conjugate gradient method、MATLABで利用可能）
SCG (scaled conjugate gradient)^{[A 33]}
ICCG （incomplete Cholesky conjugate gradient method、不完全コレスキー分解付共役勾配法）^[5]
COCG (conjugate orthogonal conjugate gradient method)^{[A 34]}
GPBiCG^{[A 35]}^{[A 36]}
GPBiCG $(m,l)$ ^{[A 37]}
STAB系の手法
- BiCGSTAB （biconjugate gradient stabilized method、双共役勾配安定化法、MATLABで利用可能）^{[A 38]}
- BiCGSTAB2^{[A 39]}
- QMRCGSTAB^{[A 40]}
- GBi-CGSTAB^{[A 41]}
Block化した手法
- Block CG^{[A 42]}^{[A 43]}
- Block BiCGSTAB^{[A 44]}
- Block BiCGGR^{[A 45]}
- Block BiCGGR2^{[A 46]}
- Block GWBiCGSTAB^{[A 47]}

精度保証

数値線形代数における精度保証付き数値計算の研究も活発になっており^[6]^[7]、具体的には以下のような研究が行われている。

連立方程式の解に対する精度保証付き数値計算^[6]^[7]^{[B 1]}^{[B 2]}
- 並列計算^{[B 3]}
- 悪条件問題（英: ill-conditioned problems、条件数が大きい問題）^{[B 4]}^{[B 5]}^{[B 6]}^{[B 7]}
- 前処理行列^{[B 8]}^{[B 9]}^{[B 10]}
- H行列（比較行列がM行列^[1]となる行列）を用いる方法（ペロン・フロベニウスの定理^[1]も使う、この方法は疎行列のときも適用可能）^[6]^{[B 11]}
- 疎行列に対する精度保証法（コレスキー分解に基づく）^[6]^{[B 12]}
固有値問題の解に対する精度保証付き数値計算^[1]^[6]^[7]^{[B 13]}^{[B 14]}^{[B 15]}
- ゲルシュゴリンの定理を使う方法（定石として確立されている）^[1]^[6]^[7]
- Krawczyk法（精度保証付き求根アルゴリズムの一つ）を使う方法^[6]^[7]^{[B 16]}^{[B 17]}^{[B 18]}
- 大規模疎行列の場合^[6]^{[B 19]}
- 対角化可能行列に対する Bauer-Fike型誤差評価、Hoffman-Wielandt型誤差評価^[7]^{[B 20]}^{[B 21]}^{[B 22]}
- 一般化固有値問題（英: generalized eigenvalue problem）^{[B 23]}
- 逆固有値問題（英: inverse eigenvalue problem）^{[B 24]}^{[B 25]}
特異値分解の精度保証^[7]^{[B 26]}^{[B 27]}
行列式の精度保証^{[B 28]}^{[B 29]}
行列の乗法^{[B 30]}^{[B 31]}
行列方程式の解に対する精度保証^{[B 32]}^{[B 33]}^{[B 34]}^{[B 35]}^{[B 36]}^{[B 37]}^{[B 38]}^{[B 39]}
行列値関数（en）の精度保証（行列値関数の高精度計算法に関する研究についてはHighamなどによる業績が多数ある^{[A 48]}^{[A 49]}^{[A 50]}^{[A 51]}）
- 行列指数関数^{[B 40]}
- 行列の対数^{[B 41]}
- 行列の平方根^{[B 42]}

可積分系との関係

→「可積分系」および「可積分アルゴリズム」も参照

可積分系・力学系と数値線形代数の間に関係があるという事実が注目されている^[8]^[9]^{[C 1]}^{[C 2]}。具体的には戸田格子（ソリトン方程式の一つ）とQR法^[8]^[9]・qd法^{[C 3]}、可積分系と特異値分解^[8]^[9]^{[C 4]}^{[C 5]}との関係が明らかになった。これらを背景に、離散可積分系から数値線形代数に有用な反復法を開発する試みが行われている。例えば

dLVアルゴリズム^{[C 6]}^{[C 7]}^{[C 8]}^{[C 9]}
dhLVアルゴリズム^{[C 10]}^{[C 11]}^{[C 12]}^{[C 13]}
mdLVアルゴリズム^{[A 3]}^{[A 4]}^{[C 9]}^{[C 14]}^{[C 15]}^{[C 16]}
dhTodaアルゴリズム^{[C 17]}^{[C 18]}^{[C 19]}
I-SVDアルゴリズム^{[C 20]}^{[C 21]}^{[C 22]}

等が研究されている^[8]^[9]。

研究者・専門家

日本

杉原正顯（共役勾配法の研究に従事^{[A 41]}）
大石進一（数値線形代数の精度保証に貢献^[6]^[7]）
速水謙

海外

en:Aleksey Krylov（クリロフ部分空間を導入）

ドイツ

カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ（固有値問題の解法であるen:Jacobi eigenvalue algorithmで知られる^[1]^[2]）
イサイ・シューア（逆行列を求めるのに使うシューア補行列で知られる^[1]）
フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス（ペロン＝フロベニウスの定理で知られる^[1]）
en:Helmut Wielandt（固有値問題などについて業績がある^[1]^[7]）
アンドレアス・フロマー

アメリカ合衆国

イギリス

出典

[脚注の使い方]

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線形方程式の反復解法、一般社団法人日本計算工学会編、藤野清次著、阿部邦美著、杉原正顯著、丸善出版、2013年09月。

表話編歴数学
主要分野	数理論理学集合論圏論代数学初等線型多重線型抽象算術/数論解析学/微分積分学関数解析学行列解析幾何学代数微分有限離散位相代数的位相表現論リー理論（英語版）微分方程式線型微分方程式複素微分方程式常微分方程式偏微分方程式積分微分方程式力学系組合せ数学数理物理学ゲーム理論グラフ理論最適化問題数理最適化計算理論確率論数理統計学（英語版）制御理論三角法
トピックス	数学史和算算道数理哲学美未解決問題算数・数学教育算数教科
主要賞	ド・モルガン・メダルコール賞フィールズ賞スティール賞ウルフ賞ショウ賞アーベル賞数学ブレイクスルー賞
応用	情報理論折紙の数学囲碁と数学数値解析精度保証付き数値計算計算機援用証明数値線形代数常微分方程式の数値解法偏微分方程式の数値解法
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