終結式

多項式

f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ (a_n ≠ 0)

の重複を含めた根を α₁, …, α_n,

g(x) = b_mx^m + b_m−1x^m−1 + … + b₁x + b₀ (b_m ≠ 0)

の重複を含めた根を β₁, …, β_m

とするとき、次の等式が成り立つ：

${\displaystyle {a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}}$

（対角成分に a_n が m個、b₀ が n個）

ここでは、文献^[2]に掲載されている方法により証明する。

（証明）

${\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{bmatrix}}}$

とおく。A の第1～m行を a_n で、第(n + 1)～(m + n)行を b_m で割ると、根と係数の関係より、成分は、0 か 1 か、α₁, …, α_n または β₁, …, β_m の基本対称式になる。

故に ${\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|}$ は、α₁, …, α_n; β₁, …, β_m の多項式である。

α_i = β_j の時を考える。α_i = β_j =: λ とし、

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}:={}^{t}(\lambda ^{n+m-1},\cdots ,\lambda ,1)}$  （t は転置を表す）

とおく。${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}a_{i}\lambda ^{i}=\sum \limits _{j=0}^{m}b_{j}\lambda ^{j}=0}$ より、

${\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {o}}}$  （${\displaystyle {\boldsymbol {o}}}$ は零ベクトル）

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\neq {\boldsymbol {o}}}$ より、この斉次連立方程式には非自明な解が存在するから、係数行列は非正則である：

${\displaystyle |A|=0}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|}$ は、α_i = β_j のとき多項式として 0 になるから、因数定理より、α_i − β_j を因数に持つ：

${\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|=c\,\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})}$

両辺の (β₁ β₂ … β_m)ⁿ の係数を比較すると、c = 1

${\displaystyle \therefore \ |A|={a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \blacksquare }$

Summarize Timeline Fact Check

整域R が体 K に含まれるとし、f を n 次、g を m 次 の R 係数多項式とする：

${\displaystyle f(x)=f_{n}x^{n}+f_{n-1}x^{n-1}+\cdots +f_{1}x+f_{0}}$,

${\displaystyle g(x)=g_{m}x^{m}+g_{m-1}x^{m-1}+\cdots g_{1}x+g_{0}}$

f, g は K の代数的閉包上で

${\displaystyle f=f_{m}\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}(x-\alpha _{i})}$

${\displaystyle g=g_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{m}(x-\beta _{j})}$

と因数分解され、終結式 ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,g)}$ が定義できる。