過剰数
その数自身以外の約数の総和がその数より大きい自然数
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概要
例えば、20 の約数の総和は 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42 > 20 × 2 であるので（もしくは「20 の自身を除く約数の総和は 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 > 20 であるので」）20 は過剰数である。約数関数を用いると σ(n) > 2n を満たす n が過剰数である。過剰数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小の数は 12 である。奇数の過剰数のうち最小の数は 945 である（σ(945) = 1920 > 945 × 2 = 1890）。
過剰数を 12 から小さい順に列記すると
となる。[1]
過剰数もしくは完全数の倍数は全て過剰数であり、したがって偶数の過剰数も奇数の過剰数も無数に存在する。また、全ての擬似完全数は完全数もしくは過剰数である。ほとんどの過剰数は擬似完全数でもあり、そうでない過剰数は不思議数と呼ばれる。
約数の総和が元の数の 2 倍に1加えた数になる過剰数（即ちσ(n) = 2n + 1 を満たす n）は準完全数と呼ばれる。この準完全数の定義は「その数の非自明な約数（1と自身を除いた約数）の総和が元の数と等しい自然数」と同値である。準完全数はいまだに見つかっておらず、もし存在するならば奇数の平方数で 1035 より大きく、少なくとも 7 つの相異なる素因数を持つことが分かっている。
全ての自然数の集合に於いて過剰数が占める割合は 0.2474 から 0.2480 の間であると証明されている[2]。
20161 より大きい整数は 2 つの過剰数の和で表すことができる。 2 つの過剰数の和で表すことが出来ない最大の偶数は 46 である[3]。
20 が過剰数なので、その倍数つまり下 2 桁が 00, 20, 40, 60, 80 である数は全て過剰数となる。
過剰数か完全数の倍数ではない過剰数（即ちそれら自身以外のすべての約数が不足数の数）は、原始過剰数と呼ばれる。
全ての過剰数は、完全数または原始過剰数の倍数である。
