無限遠直線

アフィン幾何学やユークリッド幾何学において平行線は交わらないとされるが、射影幾何学においては任意の2直線が交わる。特に平行線は無限遠点で交わる。すべての無限遠点を含む直線を無限遠直線という^[8]。

任意の直線は無限遠直線と交わる。交点は直線の傾きのみに依存する。

アフィン平面において、直線は2方向に延びている。射影平面においてこの2方向の無限遠点は同一である。故に射影平面上の直線は閉曲線である。無限遠直線もまた閉曲線である。

無限遠直線はアフィン平面を囲う円とみなすこともできる。ただし円上の点の対蹠点は自身と一致する。アフィン平面と無限遠直線は実射影平面ℝP²を成す。

双曲線は2つの漸近線方向の無限遠点で自身と交わり、閉曲線とみなせる^[9]。同様に放物線も軸方向の無限遠点で無限遠直線と接する^[10]閉曲線とみなすことができる。

複素射影平面における無限遠直線の類似物は、無限遠の複素射影直線である。しかし、2次元複素アフィン空間上にリーマン球面を付加し4次元コンパクト多様体を成すという点で、位相幾何学的に無限遠直線とは全く異なる。実射影平面とは異なり、この結果は向き付け可能である。

複素無限遠直線は19世紀の幾何学でよく使われた。無限遠直線上のある二点（虚円点）を通る円錐曲線として円を扱うことに応用された。

虚円点I, Jは円の方程式から低次の項を除いた方程式X² + Y² = 0の解である。通常、射影幾何学においては同次座標系（英語版）[X:Y:Z]が採択される。

無限遠直線は、Z = 0で表される^[11][12]。すべての円は無限遠直線上の虚円点を通る^[13]。

虚円点は任意に代表元を取っても複素点となる。ただし、射影直線は十分大きい対称変換群を持つため、虚円点の存在は特別なことではない。3つの変数からなる円の族は、与えられた2点を通る円錐曲線の決定（英語版）の特別な場合としてみなすことができる。