第二ハーディ・リトルウッド予想

提出時期 1923

公開問題未解決

第二ハーディ・リトルウッド予想
Plot of $\pi (x)+\pi (y)-\pi (x+y)$ for $x,y\leq 200$
分野	数論
提出者	ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディジョン・エデンサー・リトルウッド
提出時期	1923
公開問題	未解決

数論において、第二ハーディ・リトルウッド予想は区間内の素数の個数に関する予想である。第一ハーディ・リトルウッド予想同様、第二ハーディ・リトルウッド予想も1923年にG・H・ハーディとJ・E・リトルウッドによって提唱された。^[1]

この予想は、

$\pi (x+y)\leq \pi (x)+\pi (y)$

が整数 $x, y \geq 2$ に対して成り立つことを主張している。ここで $π (z)$ は素数計数関数で $z$ 以下の素数の数を表す。

第一ハーディ・リトルウッド予想との関係

第二ハーディ・リトルウッド予想の主張は、 $x + 1$ から $x + y$ までの素数の個数が常に 1 から $y$ までの素数の個数以下であるという主張と同値である。これは、素数 k-組に関する第一ハーディ・リトルウッド予想と矛盾することが証明されており、最初の反例は $x$ が非常に大きな値をとるときに発生する可能性が高いと予想されている。^[2]^[3] 例えば、447個の素数からなる許容 k-組 (または素数星座) は、 $y = 3159$ の区間の中に見つけることができる。一方で $π (3159) = 446$ である。もし第一ハーディ・リトルウッド予想が正しければ、そのような最初の k-組が現れるのは、 $x$ は $1.5 \times 10 174$ 以上 $2.2 \times 10 1198$ 以下のときであると予想されている。^[4]

一般化

第二ハーディ・リトルウッド予想の一般化は、2024年にS・I・ディミトロフによって提唱された。^[5] この予想は任意の固定された ${\textstyle p\geq 1}$ に対し、十分に大きい自然数 ${\textstyle n_{0}}$ が存在し、任意の ${\textstyle x,y\geq n_{0}}$ に対し以下を満たすという主張である。

$\left(\pi ((x+y)^{p})\right)^{1/p}\leq \left(\pi (x^{p})\right)^{1/p}+\left(\pi (y^{p})\right)^{1/p}$

第二ハーディ・リトルウッド予想

第一ハーディ・リトルウッド予想との関係

一般化

参考文献

外部リンク

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