Schéma FTCS

La méthode FTCS est basée sur la méthode d'Euler centrée assurant une convergence du premier ordre en temps et du second ordre en espace. Par exemple, en une dimension, si l'équation aux dérivées partielles est :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

alors, en posant ${\displaystyle u_{i}^{n}:=u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)}$, la méthode d'Euler explicite s'écrit :

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

La fonction ${\displaystyle F}$ doit être discrétisée spatialement à l'aide d'un schéma aux différences finies centrées. Il s'agit d'une méthode explicite, ce qui signifie que ${\displaystyle u_{i}^{n+1}}$ peut être calculé explicitement (sans avoir à résoudre un système d'équations algébriques) si les valeurs de ${\displaystyle u}$ à l'instant précédent ${\displaystyle (n)}$ sont connues. Ce schéma numérique est peu coûteux.

La méthode FTCS est souvent appliquée aux problèmes de diffusion. À titre d'exemple, pour l'équation de la chaleur unidimensionnelle :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

le schéma FTCS s'écrit :

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}$

ou, en posant ${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}}$ :

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)}$

Comme démontré par l'analyse de stabilité de Von Neumann, la méthode FTCS pour l'équation de la chaleur unidimensionnelle est stable numériquement si et seulement si la condition suivante est satisfaite^[3] :

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {\Delta x^{2}}{2\alpha }}}$

En deux dimensions, la condition devient :

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {1}{2\alpha (1/\Delta x^{2}+1/\Delta y^{2})}}}$

Si l'on choisit un maillage uniforme ${\displaystyle h=\Delta x=\Delta y=\Delta z}$, les conditions de stabilité deviennent ${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {h^{2}}{2\alpha }}\,,\;\Delta t\leq {\frac {h^{2}}{4\alpha }}\,,\;\Delta t\leq {\frac {h^{2}}{6\alpha }}}$ pour les applications à une, deux et trois dimensions, respectivement.

Un inconvénient majeur de la méthode FTCS est que la condition de stabilité n'est vérifiée qu'avec des petits pas en temps pour les problèmes à forte diffusivité α.

Ce schéma est inconditionnellement instable pour les problèmes hyperboliques^[4].