Schéma de MacCormack

En analyse numérique, le schéma de MacCormack est une méthode utilisée pour résoudre les équations aux dérivées partielles hyperboliques, en particulier dans le domaine de la mécanique des fluides dans le cadre duquel il a été développé par Robert MacCormack en 1969^[1]. Il s'agit d'un schéma différences finies du second ordre du type prédicteur-correcteur qui a été très utilisé avant l'avènement des schémas de la méthode des volumes finis^[2].

La méthode de MacCormack est conçue pour résoudre les équations aux dérivées partielles hyperboliques de la forme :

{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u)}{\partial x}}=0

Pour mettre à jour cette équation dans la cellule $i$ d'un pas de temps $\Delta t$ sur une grille de pas $\Delta x$ , la méthode de MacCormack utilise une « étape de prédiction » et une « étape de correction », décrites ci-dessous^[3]

{\begin{aligned}&u_{i}^{p}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(f_{i+1}^{n}-f_{i}^{n}\right)\\&u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{p})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(f_{i}^{p}-f_{i-1}^{p})\end{aligned}}

Exemple d'une équation linéaire

Pour illustrer l'algorithme, considérons l'équation hyperbolique du premier ordre suivante :

\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0

L'application de la méthode de MacCormack à cette équation se déroule en deux étapes : une étape de prédiction suivie d'une étape de correction.

Étape de prédiction

Lors de l'étape de prédiction, une valeur « provisoire » de $u$ à l'instant $n+1$ (notée $u_{i}^{p}$ ) est estimée comme suit :

u_{i}^{p}=u_{i}^{n}-a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}\right)

L'équation ci-dessus est obtenue en remplaçant les dérivées spatiales et temporelles de l'équation hyperbolique du premier ordre précédente par des différences finies.

Étape de correction

Lors de l'étape de correction, la valeur prédite $u_{i}^{p}$ est corrigée selon l'équation :

u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n+1/2}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{p}-u_{i-1}^{p}\right)

L'étape de correction utilise une approximation par différences finies rétrogrades pour la dérivée spatiale. Le pas de temps utilisé lors de l'étape de correction est $\Delta t/2$ , contrairement à celui utilisé lors de l'étape de prédiction.

En remplaçant le terme $u_{i}^{n+1/2}$ par la moyenne temporelle :

u_{i}^{n+1/2}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{p}}{2}}

on obtient ainsi le pas de correction :

u_{i}^{n+1}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{p}}{2}}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{p}-u_{i-1}^{p}\right)

Remarques

La méthode de MacCormack est bien adaptée aux équations non linéaires (équation de Burgers non visqueuse, équations d'Euler, etc.). L'ordre de discrétisation peut être inversé pour chaque pas de temps (discrétisation avant/arrière suivie de discrétisation arrière/avant). Pour les équations non linéaires, cette procédure donne les meilleurs résultats. Pour les équations linéaires, le schéma de MacCormack est équivalent au schéma de Lax-Wendroff^[4].

Contrairement aux schémas décentrés du premier ordre, le schéma de MacCormack n'introduit pas d'erreurs de diffusion numérique dans la solution. Cependant, il est connu pour introduire des erreurs de dispersion (phénomène de Gibbs) dans les régions où le gradient est élevé^[5].

Schéma de MacCormack

Exemple d'une équation linéaire

Remarques

Voir aussi

Références

Related Articles