Schéma non-oscillatoire pondéré

En analyse numérique un schéma non-oscillatoire pondéré ou schéma WENO (de l'anglais weighted essentially non-oscillatory) est un schéma appartenant une classe de schémas à haute résolution utilisés pour les équations aux dérivées partielles.

Ces méthodes ont été développées à partir des schémas ENO (essentially non-oscillatory) de Amiram Harten, Bjorn Engquist, Stanley Osher et Sukumar Chakravarthy en 1987^[1].

Le premier schéma WENO est du à Xu-Dong Liu, Stanley Osher et Tony Chan en 1994^[2]. En 1996, une version améliorée est due à Guang-Shan Jiang et Chi-Wang Shu^[3].

Pour la simplicité de la démonstration on suppose un maillage uniforme $\Delta x=x_{i+1}-x_{i}$ . Les points milieux sont notés $x_{i+1/2}=1/2(x_{i+1}+x_{i})$ dont les cellules de calcul sont $I_{i}=(x_{i-1/2},x_{i+1/2})$ . On définit la primitive :

U(x)=\int _{x_{i-1/2}}^{x}u(\zeta )d\zeta

On cherche le développement d'ordre $N$ en fonctions ${\bar {u}}_{li}$ qui approxime cette fonction sur la cellule $I_{i}$ :

U(x_{i+1/2})=\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}u(\zeta )d\zeta =\sum _{l=1}^{N}\Delta x\,{\bar {u}}_{li}

On peut ainsi construire des polynômes d'interpolation suivant le stencil $S_{1}=(I_{i-2},I_{i-1},I_{i})$ :

p_{1j}={\frac {1}{\Delta x}}\int _{x_{j-1/2}}^{x_{j+1/2}}p_{1}(x)={\bar {u}}_{j}^{(1)}

Ainsi pour $N=3$ la reconstruction donne (approximation décentrée amont) :

{\bar {u}}_{i+1/2}^{(1)}={\frac {1}{3}}{\bar {u}}_{i-2}-{\frac {7}{6}}{\bar {u}}_{i-1}+{\frac {11}{6}}{\bar {u}}_{i}

La même opération sur le stencil $S_{2}=(I_{i-1},I_{i},I_{i+1})$ donne (approximation centrée) :

{\bar {u}}_{i+1/2}^{(2)}=-{\frac {1}{6}}{\bar {u}}_{i-1}+{\frac {5}{6}}{\bar {u}}_{i}+{\frac {1}{3}}{\bar {u}}_{i+1}

De même pour $S_{3}=(I_{i},I_{i+1},I_{i+2})$ (approximation décentrée aval) :

{\bar {u}}_{i+1/2}^{(3)}={\frac {1}{3}}{\bar {u}}_{i}+{\frac {5}{6}}{\bar {u}}_{i+1}-{\frac {1}{6}}{\bar {u}}_{i+2}

Le principe d'un schéma ENO est de choisir centrage ou décentrage en fonction de la valeur locale de la fonction : par exemple éviter de centrer sur une discontinuité. Ceci suppose de tester les trois approches dans chaque cellule de calcul et de choisir à partir d'un critère donné permettant d'estimer la variation totale de chacune des possibles solutions^[4].

Cette approche peut être étendue aux maillages multidimensionnels, réguliers ou non, par exemple non-structurés^[5].

Les schémas WENO

Dans ce type de schéma l'idée de base est d'utiliser toutes les solutions candidates en pondérant chacune d'entre elles.

Supposons que l'on choisisse un stencil $S=(I_{i-2},I_{i-1},I_{i},I_{i+1},I_{i+2})$ . La reconstruction va donner :

{\bar {u}}_{i+1/2}={\frac {1}{30}}{\bar {u}}_{i-1}-{\frac {13}{60}}{\bar {u}}_{i-1}+{\frac {47}{60}}{\bar {u}}_{i}+{\frac {9}{20}}{\bar {u}}_{i+1}-{\frac {1}{20}}{\bar {u}}_{i+2}

Cette expression est une combinaison linéaire des valeurs ci-dessus :

{\bar {u}}_{i+1/2}=\gamma _{1}{\bar {u}}_{i+1/2}^{(1)}+\gamma _{2}{\bar {u}}_{i+1/2}^{(2)}+\gamma _{3}{\bar {u}}_{i+1/2}^{(3)}

Strictement les poids $\gamma _{i}$ valent :

\gamma _{1}={\frac {1}{10}}\,,\quad \gamma _{2}={\frac {3}{5}}\,,\quad \gamma _{3}={\frac {3}{10}}

La méthode WENO consiste à remplacer ces poids par de nouveaux notés $w$ qui sont choisis à partir d'un « indicateur de régularité » $\beta _{j}>0$ tel que $\beta _{1}+\beta _{2}+\beta _{3}=1$ défini par :

\beta _{j}=\sum _{l=1}^{2}\Delta x^{2l-1}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\left({\frac {d^{l}}{dx^{l}}}p_{j}(x)\right)^{2}dx

Il s'agit d'une somme pondérée des normes $L^{2}$ des dérivées de chaque polynôme de reconstruction $p_{j}(x)$ avec un facteur d'échelle $\Delta x^{2l-1}$ permettant de rendre les formules explicites finales indépendantes de la taille de la grille $\Delta x$ .

Dans l'exemple choisi :

{\begin{array}{rcl}\beta _{1}&=&{\frac {13}{12}}({\bar {u}}_{i-2}-2{\bar {u}}_{i-1}+{\bar {u}}_{i})^{2}+{\frac {1}{4}}({\bar {u}}_{i-2}-4{\bar {u}}_{i-1}+3{\bar {u}}_{i})^{2}\\\beta _{2}&=&{\frac {13}{12}}({\bar {u}}_{i-1}-2{\bar {u}}_{i}+{\bar {u}}_{i+1})^{2}+{\frac {1}{4}}({\bar {u}}_{i-1}-{\bar {u}}_{i+1})^{2}\\\beta _{3}&=&{\frac {13}{12}}({\bar {u}}_{i}-2{\bar {u}}_{i+1}+{\bar {u}}_{i+2})^{2}+{\frac {1}{4}}(3{\bar {u}}_{i}-4{\bar {u}}_{i+-1}+{\bar {u}}_{i+2})^{2}\end{array}}

Les poids sont alors donné par :

w_{j}={\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}}}\,,\quad \alpha _{j}={\frac {\gamma _{j}}{(\varepsilon +\beta _{j})^{2}}}\,,\quad j=1,2,3

$\varepsilon$ est une quantité numérique petite pour éviter une éventuelle division par zéro.

La précision de l'approximation est d'ordre 5 en l'absence de discontinuité^[3]. Cette précision élevée est vraie pour tous les schémas WENO. En contrepartie ils sont assez dissipatifs et d'un coût élevé^[6].

Schéma non-oscillatoire pondéré

Les schémas WENO

Voir aussi

Références

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