2行軌道要素形式

軌道要素のうち、2行軌道要素形式には次の要素が直接含まれている。

${\displaystyle t_{0}}$ : 元期 (Epoch)

${\displaystyle i_{0}}$ : 元期における 軌道傾斜角 (inclination)

${\displaystyle \Omega _{0}}$ : 元期における 昇交点黄経 (longitude of the ascending node)

${\displaystyle e_{0}}$ : 元期における軌道離心率 (Orbital eccentricity)

${\displaystyle \omega _{0}}$ : 元期における近点引数 (Argument of periapsis)

${\displaystyle M_{0}}$ : 元期における平均近点角 (mean anomaly)

${\displaystyle n_{0}}$ : 元期における平均運動 (Mean Motion)

これらの要素は、厳密な二体問題が成立する場合は定数であるが、次のような原因による摂動で変動する。

• 地球の重力ポテンシャルの球対称からのずれ
• 地球の大気による抗力
• 太陽光圧、太陽風圧
• 地球以外の天体(月、太陽、他の惑星など)の重力

2行軌道要素形式には、主に平均運動の時間変動を補正する、次のような情報が含まれている。

${\displaystyle {\dot {n}}_{0}/2}$ : 元期における平均運動の時間についての1次微分を2で割った値。

${\displaystyle {\ddot {n}}_{0}/6}$ : 元期における平均運動の時間についての2次微分を6で割った値。

B* : 地球大気の抗力による平均運動への影響を表すパラメーター

${\displaystyle {\dot {n}}_{0}/2}$ および ${\displaystyle {\ddot {n}}_{0}/6}$ はSGPで用いられているが、SGP4では用いられていない。逆に B* はSGP4で用いられているが、SGPでは用いられていない^[3]。

SGPやSGP4では、地球の重力ポテンシャルのモデルなどを用いて、2行軌道要素形式に含まれる元期 t₀ における軌道要素の値から、任意の時刻 t における次の軌道要素の値を予測している^[3]。

${\displaystyle i}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における軌道傾斜角

${\displaystyle \Omega }$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における昇交点赤経

${\displaystyle e}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における軌道離心率

${\displaystyle \omega }$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における近点引数

${\displaystyle M}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における平均近点角

${\displaystyle n}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$おける平均運動

以下の軌道要素は、2行軌道要素形式には元期 t₀ における値が直接は含まれていないが、任意の時刻 t における平均運動 n と離心率 e から、t における値を計算可能である。

${\displaystyle a}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における軌道長半径(Semimajor axis)

${\displaystyle l}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における半通径(または半直弦)(semi-latus rectum)

${\displaystyle q}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における近点距離 (Periapsis)

${\displaystyle Q}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における遠点距離 (Ap(o)apsis)

${\displaystyle T}$ : 時刻 ${\displaystyle t}$における軌道周期(Orbital period)

これらには、次のような関係がある。

${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{\frac {GM_{E}}{n^{2}}}}}$

${\displaystyle l=a(1-e^{2})}$

${\displaystyle Q=a(1+e)}$

${\displaystyle q=a(1-e)}$

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{n}}}$

ここで GM_E は地心重力定数(万有引力定数と地球質量の積)でありGM_E = 3.986004418(8)×10¹⁴ m³ s⁻² である。

地球中心と衛星間の距離を r とすると、 r は真近点角 ν の関数として次の形に表すことができる。

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \nu }}}$

また、r は、離心近点角 E の関数として次の形に表すことができる。

${\displaystyle r=a(1-e\cos E)}$

真近点角 ν と離心近点角 E の関係は、次のようになる。

${\displaystyle \tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}}$

離心近点角 E と平均近点角 M の関係は次の式(ケプラー方程式)で表される。

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

平均近点角 M は次の式で表される。

${\displaystyle M=M_{0}+{n_{0}}(t-t_{0})+\delta M}$

δM は摂動による M の変動を表す項であり、摂動がなければ δM = 0 である。

時刻 t における 平均運動 n は 、時刻 t における平均近点角 M の時間微分である。

${\displaystyle n={\dot {M}}=n_{0}+\delta {\dot {M}}}$

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