ツェルメロ＝フレンケル集合論

外延性の公理

任意の集合について、その集合と同じ元のみをもつ集合は、その集合自体の他に存在しない。

${\displaystyle \forall x\ \forall y\left[\forall z\left[z\in x\Leftrightarrow z\in y\right]\Rightarrow x=y\right]}$

正則性公理（基礎の公理）

任意の集合は、元をもたないか、自身と互いに素な元をもつ。

${\displaystyle \forall x\left[\exists w\left[w\in x\right]\Rightarrow \exists y\left[y\in x\land \neg \ \exists z\left[z\in x\land z\in y\right]\right]\right]}$

分出公理図式

部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される。たとえば偶数集合は、整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ のうち 2 で割り切れる元のみを集めた部分集合として表せる。

${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {Z} \,|\,x\equiv 0\left(\mathrm {mod} \ 2\right)\right\}}$

一般に、集合 ${\displaystyle z}$ の部分集合で一つの自由変項 ${\displaystyle x}$ の式 ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ に従うものは、以下のように表現できる。

${\displaystyle \left\{x\in z\,|\,\varphi \left(x\right)\right\}}$

分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの ${\displaystyle \varphi }$ に一つずつ公理が対応するため、これは公理図式である）。厳密には、ZFCの言語では、${\displaystyle \varphi }$ はすべての自由変項 ${\displaystyle x}$、${\displaystyle z}$、${\displaystyle w_{1}}$、...、${\displaystyle w_{n}}$ を含む任意の式とする（${\displaystyle y}$ は ${\displaystyle \varphi }$ の自由変項でない）。このとき、

${\displaystyle \forall z\ \forall w_{1}\ \forall w_{2}\ \dots \ \forall w_{n}\ \exists y\ \forall x\left[x\in y\Leftrightarrow \left[\left[x\in z\right]\land \varphi \right]\right]}$。

分出公理は、既出の集合から部分集合のみを構成できるのみであり、${\displaystyle \left\{x\,|\,\varphi \left(x\right)\right\}}$ のような一般的な集合を構成できない。この制限は、ラッセルのパラドックス（${\displaystyle y=\left\{x\,|\,x\not \in x\right\}}$ とすると、${\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\not \in y}$ となり矛盾する）や、ラッセルのパラドックスの変種（無制限の内包公理を含む素朴集合論に関連するもの）を防ぐために必要である。

ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理から導かれる。

何かしらの集合が存在すれば（上述の通り、無限公理から、もしくは一般的な論理体系では存在するので）、本公理は空集合 ${\displaystyle \varnothing }$ の存在を主張する。証明方法の一つは、どの集合も持たない属性 ${\displaystyle \varphi }$ （普通、論理的に成立しない${\displaystyle x\neq x}$や${\displaystyle \neg A\land A}$の形の命題）を使うことである。たとえば、${\displaystyle w}$ が既存の集合である場合、空集合は次のように構成できる。

${\displaystyle \varnothing =\left\{u\in w\,|\,u\neq u\right\}}$

したがって、空集合の公理は、ここで示す九つの公理によって示すことができる。外延性の公理は、空集合が一意であることを意味する（${\displaystyle w}$ によらない）。記号 ${\displaystyle \varnothing }$ はしばしばZFCの言語に追加される（英語版）。

対の公理

任意の集合 ${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ について、少なくとも ${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ を元とする集合が存在する。

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ \exists z\left[x\in z\land y\in z\right]}$

和集合の公理

任意の集合について、少なくともその集合の任意の元を部分集合とする集合が存在する。下記の二つの論理式は同値である。

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ \forall z\left[\exists w\left[z\in w\land w\in x\right]\Rightarrow z\in y\right]}$

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ \forall z\left[z\in x\Rightarrow \forall w\left[w\in z\Rightarrow w\in y\right]\right]}$

置換公理図式

置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する。

厳密には、ZFCの言語で ${\displaystyle \varphi }$ を 自由変項 ${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle A}$、${\displaystyle w_{1}}$、${\displaystyle w_{2}}$、...、${\displaystyle w_{n}}$ が含まれる任意の論理式とすると、次のように表される（${\displaystyle B}$ は自由変項ではない）。

${\displaystyle \forall A\ \forall w_{1}\ \forall w_{2}\ \dots \ \forall w_{n}\left[\forall x\left[x\in A\Rightarrow \exists !y\left[\varphi \right]\right]\Rightarrow \exists B\ \forall x\left(x\in A\Rightarrow \exists y\left[y\in B\land \varphi \right]\right]\right]}$

${\displaystyle \exists$ !} の意味は、一意存在量化子を参照せよ。

言い換えれば、論理式 ${\displaystyle \varphi }$ が定義可能な関数 ${\displaystyle f}$ を表し、${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle f}$ の定義域を表し、${\displaystyle f\left(x\right)}$ が任意の ${\displaystyle x\in A}$ に対して集合であるとすると、${\displaystyle f}$ の値域はある集合 ${\displaystyle B}$ の部分集合となる。${\displaystyle B}$ が十分に大きい場合、この公理はコレクションの公理と呼ばれることもある。

無限公理

空集合を元とする集合 ${\displaystyle x}$ が存在し、${\displaystyle x}$ の任意の元 ${\displaystyle y}$ について、${\displaystyle y\cup \left\{y\right\}}$ も ${\displaystyle x}$ の元である。

${\displaystyle \exists x\left[\exists z\left[z\in x\land \forall w\left[w\not \in z\right]\right]\land \forall y\left[y\in x\Rightarrow y\cup \left\{y\right\}\in x\right]\right]}$

冪（べき）集合公理

任意の集合について、少なくともその集合の任意の部分集合を元とする集合が存在する。

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ \forall z\left[\forall w\left[w\in z\Rightarrow w\in x\right]\Rightarrow z\in y\right]}$

選択公理（または同値な命題）

任意の集合 ${\displaystyle X}$ に対して、 ${\displaystyle X}$ を整列する二項関係 ${\displaystyle R}$ が存在する。これは ${\displaystyle R}$ が、空でない ${\displaystyle X}$ のどの部分集合も ${\displaystyle R}$ のもとで最小元を持つような、${\displaystyle X}$ の全順序であることを意味する。

${\displaystyle \forall X\ \exists R\left[R\ {\mbox{well-orders}}\ X\right]}$

ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定した^[6]が、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである。

Kunenの数学基礎論を扱う別の著書では、Zermelo (1908)で用いられた形でもある次の主張が公理になっている：空でなく、互いに交わらない集合族${\textstyle \{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\ (\forall \lambda \ X_{\lambda }\neq \emptyset \land \forall \lambda ,\mu (\lambda \neq \mu \Rightarrow X_{\lambda }\cap X_{\mu }\neq \emptyset ))}$は選択集合（${\displaystyle C}$という集合で、${\displaystyle C\cap X_{\lambda }}$が1元集合）をもつ。この形の選択公理は、一般的なものと同値だが使い勝手が悪い（選択関数を考える時とは違って集合族が互いに交わっていないことが必要となる）。ただ、公理を書くために必要な定義が少なくてすむという利点がある^[7]。

選択公理の主張は通常次のようなものである：空でない集合による集合族 ${\textstyle \{X_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\ (\forall \lambda \ X_{\lambda }\neq \emptyset )}$ に対して、各 ${\textstyle X_{\lambda }}$ から要素を1つずつ選択して新しい集合を作ることができる。すなわち、写像 ${\textstyle f:\Lambda \to \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }}$ で ${\textstyle \forall \lambda \ f(\lambda )\in X_{\lambda }}$ となるようなものが存在する。

選択公理は選択集合の存在を主張するが、選択集合がどのように「構築」されるかについては言及しないため、非構成的であるとされる。ACが存在を主張する特定の集合の定義可能性（または不可能性）を明らかにしようと、数多くの研究がなされた。

空集合の公理

Kunen (1980) では含まれていないが、例えば 倉田令二朗 & 篠田寿一 では空集合の公理を立てている。

${\displaystyle \exists x\ \forall y\ (x\notin y)}$

すなわち、何も元として含まない集合は存在し、外延性公理よりこれは一意である。

仮想クラス

前述のように、真のクラス^{[注釈 1]}は、ZF（そしてZFC）では間接的にのみ扱うことができる。 ZFおよびZFC内での真のクラスの代替は、 Quine (1969)によって導入された仮想クラス表記構造である。ここで、構造全体 y ∈ { x | Fx} は単に Fy として定義される^[10]。これは、クラスの存在性に関与することなく（集合のみを使用するように構文を変換できるため）、集合を含みうるがそれ自体が集合である必要はないクラスの単純な表記法である。QuineのアプローチはBernays & Fraenkel (1958)の初期のアプローチに基づいて構築された。仮想クラスは、 Levy (2002) 、 Takeuti & Zaring (1982) 、そしてMetamath（英語版）におけるZFCの実装でも使用されている。

無矛盾性

ロビンソン算術を解釈できる再帰的に公理化可能なシステムは、矛盾がある場合にのみ、システム自体の無矛盾性を証明できるとゲーデルの第二不完全性定理は主張する。また、ロビンソン算術はZFCの一部である一般集合論で解釈できる。したがって、ZFCの無矛盾性をZFCの中で証明することはできず（実際に矛盾がある場合を除く）、それゆえに、通常の数学の意味でZFCを捉える限り、ZFCの無矛盾性を通常の数学では実証できない。 ZFCの無矛盾性は弱到達不能基数の存在に由来するが、この基数の存在は、ZFCが無矛盾であるならばZFCでは証明できない。それにもかかわらず、ZFCが予想外の矛盾を含む可能性は低いと考えられている。 ZFCに矛盾を含むとしたら、すでに明らかになっているはずだからである。確かに、ZFCは、素朴集合論の古典的なパラドックス、ラッセルのパラドックス、ブラリ＝フォルティのパラドックス、カントールのパラドックスの影響を受けない。

Abian & LaMacchia (1978)は、外延性、和集合、べき集合、置換および選択の各公理からなるZFCの派生理論（英語版）を研究した。モデル理論を使い、彼らはこの理論が無矛盾であることと、外延性、置換およびべき集合の各公理は他の4つの公理と独立であることを証明した。この理論に無限公理を加えた場合は、和集合、選択および無限の各公理が他の5つの公理と独立になる。正則性公理を除いたZFCの各公理を満足する非整礎的モデルが存在するため、正則性公理は他のZFCの公理とは独立になる。

ZFCは、無矛盾であるならば、圏論で必要となる到達不能基数の存在を証明できない。 ZFにタルスキの公理（英語版）を追加すると、この性質の巨大な集合が存在できる^[11]。タルスキの公理を仮定すると、無限、べき集合、および選択の各公理（上記7〜9）は定理となる。

独立性

重要な命題の多くはZFCとは独立である（ZFCから独立な命題の一覧を参照）。独立性は通常、強制法によって証明される。強制法によってZFCの可算推移モデル（巨大基数公理で拡張されることもある）を拡張し、問題の命題を満足することが示される。すると、命題の否定を満たすための別の方法が示される。強制法による独立性の証明では、算術的命題、他の具体的な命題、および巨大基数公理からの独立性が自動的に証明される。 ZFCに依存しない命題のいくつかは、構成可能集合などの特定の内部モデル（英語版）に該当することが証明できる。ただし、構成的集合について真であるいくつかの命題は、仮定された巨大基数公理と整合しない。

強制法で、次の命題がZFCから独立であることを証明できる。

• 連続体仮説
• ダイヤモンド原理
• ススリンの仮説
• マーティンの公理（これはZFCの公理ではない）
• 構成可能性公理（V=L）（英語版） （これもZFCの公理ではない）

備考：

• V=L の無矛盾性は内部モデル（英語版）によって証明できるが、強制法ではできない。ZFのどのモデルも、切り出して ZFC + V=L のモデルとすることができる。
• ダイヤモンド原理は、連続体仮説とススリンの仮説の否定を含意する。
• マーティンの公理と連続体仮説の否定は、ススリンの仮説を含意する。
• 構成可能集合は、一般化連続体仮説、ダイヤモンド原理、マーティンの公理、およびクレパ仮説を満たす。
• クレパ仮説の否定は、到達不能基数の存在と無矛盾性同値（英語版）である。

強制法の変種を用いて、選択公理の無矛盾性と証明不可能性、すなわち、選択公理とZFの独立性を示すこともできる。選択公理の無矛盾性は、内部モデル L が選択公理を満たしていることを証明することで（比較的）簡単に検証できる（したがって、ZFのどのモデルにもZFCの部分モデルが含まれているため、Con(ZF)はCon(ZFC)を含意する）。強制法は選択公理を保持するため、選択公理を満たすモデルから選択公理と矛盾するモデルを直接生成することはできない。ただし、強制法を使用して、ZFは満たすがCは満たさない部分モデルを含むモデルを作成できる。

独立性を証明する他の方法は、強制法ではなく、ゲーデルの第二不完全性定理に基づくものである。このアプローチでは、独立性を証明したい命題を用いて、ZFCの集合モデルの存在を証明する。この場合、Con(ZFC)は真となる。 ZFCはゲーデルの第二定理の条件を満たすため、ZFCの無矛盾性をZFCでは証明できない（ZFCが実際に無矛盾である場合）。したがって、ZFCでそのような証明ができる命題はない。この方法で、巨大基数の存在をZFCで証明できないことは証明できるが、ZFCが所与のときに巨大基数の存在を仮定することが無矛盾であることは証明できない。

追加の提案

連続体仮説または他の超数学的な曖昧さを解決するために、追加の公理を扱う集合論研究者を統合するプロジェクトは、「ゲーデル・プログラム」として知られる^[12]。数学者は現在、どの公理が最も妥当または「自明」であり、どの公理がさまざまな領域で最も有用であり、有用性と妥当性とがどの程度トレードオフされるべきかについて議論している。一部の「多元宇宙（英語版）」集合論研究者は、有用性は、公理について慣習的に用いられる唯一の究極的基準であるべきだと主張している。ある学派は、集合の「反復」概念を拡張して、強制的な公理を採用することにより、興味深く複雑であるが合理的に扱いやすい構造を持つ集合論的宇宙を生み出すことを目指している。別の学派は、おそらく「コア」内部モデルに焦点を当てて、整理された宇宙を提唱している。 ^[13]