テンソル分解

上述の様にテンソル分解には非常に多彩な自由度が存在するが、主に歴史的な経緯からいくつかのよく用いられる分解が存在する。

CP分解（英語版）はテンソルをベクトルのクロネッカー積の和で表現する方法である。

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i=1}^{R}\lambda _{i}\mathbf {a} _{i}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i}^{m},}$$

ここで${\displaystyle {\mathcal {A}}\in \mathbb {R} ^{N_{1}\times N_{2}\times \cdots \times N_{m}}}$はm階のテンソル、${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{N_{i}}}$は${\displaystyle N_{i}}$次元のベクトルである。${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {R} }$は各項の重みを表す係数であり、Rはテンソルのランク^{[注釈 1]}と呼ばれる量である。

タッカー分解（英語版）はm階のテンソルをテンソルとベクトルのテンソル積の和で表現する方法である。 $${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{j_{1}=1}^{N_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{N_{2}}\cdots \sum _{j_{m}=1}^{N_{d}}s_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{m}}\mathbf {u} _{j_{1}}^{1}\otimes \mathbf {u} _{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{j_{m}}^{m},}$$ 但し、${\displaystyle \mathbf {u} ^{i}\in \mathbb {R} ^{N_{i}\times N_{i}}}$は直交行列である。

テンソルトレイン分解^[1]はテンソルを三階のテンソルのテンソル積の和で表現する方法^{[注釈 2]}である。量子力学の分野では、行列積状態(MPS: Matrix Product State)(への分解)とも呼ばれる。 $${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m}}=\sum _{i_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{i_{2}=2}^{R_{1}}\cdots \sum _{i_{m-1}=1}^{R_{m-1}}U_{i_{1}j_{1}}U_{i_{1}i_{2}j_{2}}\cdots U_{i_{m-2}i_{m-1}j_{m-1}}U_{i_{m-1}j_{m}}}$$ ここで${\displaystyle U_{i_{1}j_{1}}\in \mathbb {R} ^{R_{1}\times N_{1}},U_{i_{m-1}j_{m}}\in \mathbb {R} ^{R_{m-1}\times N_{m}},U_{i_{k-1}i_{k}j_{k}}\in \mathbb {R} ^{R_{k-1}\times R_{k}\times N_{k}}}$である。

最適化アルゴリズムとしては、CP分解では交互最小二乗法（英語版）、タッカー分解ではHOSVD（英語版）(Higher order singular value decomposition)やHOOI（higher order orthogonal iteration）^{[注釈 3]}、テンソルトレイン分解ではTT-SVD (Tensor-train singular value decomposition)などが知られている。

• 石黒, 勝彦; 林, 浩平. 関係データ学習. 講談社. ISBN 978-4-06-152921-2 
• Kolda, Tamara; Bader, Brett (2009), “Tensor Decompositions and Applications”, SIAM REVIEW 51 (3): 455-500, doi:10.1137/07070111X 
• Andrzej Cichocki; Rafel Zdunek; Anh Huy Phan; Shun-ichi Amari: Nonnegative Matrix and Tensor Factorizations: Applications to Exploratory Multi-way Data Analysis and Blind Source Separation, John Wiley & Sons,ISBN 978-0-470-74666-0 (2009).