計量テンソル (一般相対論)

計量テンソルは一般的にg_μνと表される。計量テンソルは時間の関数なので、特殊相対論で表されていた計量テンソル${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$ではなく、一般化し、${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{pmatrix}}}$と表す^[1]。これは、空間に重力を適用するとき、0と1だけでは、空間の曲率が表せないため、一般化して行列の中がテンソルとなっている^[1]。一般化した計量テンソルは対象テンソルなので、01と10や12と21などμとνを入れ替えても同じな成分は無視してもよい^[1]。そして計量テンソルは単位テンソルの添え字を上げ下げしたものであり、同様に計量テンソルも右にあるテンソルやベクトルの添え字を上げる役割を持つ。^[2]例として、A_μ = g_μνA^μと表す^[2]。

性質として、計量テンソルは二階微分するとリーマン曲率テンソルになる^[1]。

真の時間τと${\displaystyle x_{0}}$との関係を求める。そのために空間の同一点で生じた２つの事象について考えるとき、２つの事象の世界間隔${\displaystyle ds^{2}}$は${\displaystyle cd\tau }$である。ここでdτは２つの間の時間間隔である。なので、一般的な表現${\displaystyle ds^{2}=g_{ik}dx^{i}dx^{k}}$において、${\displaystyle dx^{1}=dx^{2}=dx^{3}=0}$とおけば、${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}=g_{00}(dx^{0})^{2}}$で、${\displaystyle d\tau ={1 \over c}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}}$であり、あるいは空間の同一点で生ずる任意の2個の事象の間の時間として、${\displaystyle \tau ={1 \over c}\int {\sqrt {g_{00}}}dx^{0}}$となる^[2]