テトラド表記

4成分の正規直交ベクトルの組をテトラド表記という。つまり、反変な基底ベクトル${\displaystyle e_{(a)}^{\mu }}$を用意する。このかっこの添字がテトラドの添字を表し、${\displaystyle a=0,1,2,3}$という４つの組がテトラドと呼ばれるもので、このテトラドを非座標基底としたときテトラド基底という。 詳しく言えば、 曲率テンソルなどの共変微分を求める際、実際の計算として基底は正規直交であることが好ましいため、計量の成分について${\displaystyle (e_{\alpha },e_{\beta })=(e_{\alpha })^{a}(e_{\beta })_{a}=\eta _{\alpha \beta }}$となり、${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$は＋ーーーの符号系が与えられている。

上記のようになるように取った基底を正規直交基底と呼ぶ。

基底の内積は計量テンソルの成分であったため、基底の内積の総和をとったようにかける。そしてそれらの添字の上げ下げは特殊相対性理論と同じくミンコフスキーメトリックで良い。

接ベクトルの成分を正規直交基底で書き直すと、 ${\displaystyle v^{a}=\sum v^{\mu }(\partial _{\mu })^{a}=\sum v^{\mu }e_{\mu }^{\alpha }(e_{\alpha })^{a}}$ここで、${\displaystyle e_{\mu }^{\alpha }=(e^{\alpha },\partial _{\mu })=(e^{\alpha })_{a}(\partial _{\mu })^{a}}$となり、よって接ベクトルの成分を正規直交基底で現すと成分は、${\displaystyle v^{\alpha }=\sum _{\mu }v^{\mu }e_{\mu }^{\alpha }}$となる。${\displaystyle e_{\mu }^{\alpha }}$はn×nの成分を持つ行列であり、これのことを${\displaystyle n=4}$では、テトラド表記と呼ぶ^[1]

添字の上げ下げはその空間の計量テンソルで行い、${\displaystyle g_{\mu \nu }e_{(a)}^{\mu }=e_{(a)\nu }}$として、共変な基底ベクトルとなる。${\displaystyle e_{(a)}^{\mu }}$に相反しているベクトルを${\displaystyle e_{\mu }^{(b)}}$とすると、${\displaystyle e_{(a)}^{\mu }e_{\mu }^{(b)}=\delta _{(a)}^{(b)}}$となる。テンソルのテトラド成分はテトラドによる系に射影することによって、${\displaystyle T_{(a)(b)}=e_{(a)}^{\mu }e_{(b)}^{\nu }=T_{\mu \nu }}$逆も同じで、${\displaystyle T_{\mu \nu }=e_{\mu }^{(a)}e_{\nu }^{(b)}T_{(a)(b)}}$である。^[2]

1. ↑ “抽象添字記法、四脚場”. 2026年1月20日閲覧。
2. ↑ “テトラッド”. 2026年1月20日閲覧。

表 話 編 歴 テンソル
テンソル理論の用語集（英語版）
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テンソルの定義	テンソル空間 テンソル場 テンソル密度（英語版） 曲線座標系におけるテンソル（英語版） 混合テンソル 反対称テンソル 対称テンソル テンソル作用素（英語版） テンソル束（英語版）
算法	テンソル積 楔積 テンソルの縮約 行列（2階テンソル）の転置 添字の上げ下げ（英語版） ホッジ双対 共変微分 外微分 共変外微分（英語版） リー微分 単位テンソル 零テンソル
関連事項	次元 基底 ベクトル、ベクトル空間 多重ベクトル（英語版） ベクトルの共変性と反変性 線型写像 行列 スピノール カルタン形式 微分形式 接続形式 測地線 多様体 ファイバー束 曲率形式 レヴィ・チヴィタ接続 アフィン接続
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