リーマンゼータ関数の特殊値

ゼータ関数は複素解析に頻繁に登場する特殊関数であるが、解析的整数論においても重要な関数である。ゼータ関数は、実部が 1 より真に大きい複素数 s と自然数 n に対して、

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$

で定義される関数 ζ のことをいい^[1]、例えば s = 2 とすると、

${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$

のような級数が提供される。特に、整数引数に対してゼータ関数がとる値についてはこの例も含めすべて実数値をもち、さらに数値計算に効率のよい公式が存在する。この記事では、これらの公式を値の表とともに列挙し、その微分と整数引数でのゼータ関数からなる級数も記述する。

ゼータ関数は、s = 1 における一位の極を除き解析接続によって複素平面全体に拡張される。しかしながら、上の定義式は解析接続された s に対しては無効であり、直に計算を試みると対応する和が発散する。例えば、ゼータ関数において s = −1 のとき、

${\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}}$

となるが、これを上の定義式で計算すると、

${\displaystyle \zeta (-1)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}n=\lim _{N\to \infty }{\frac {N\,(N+1)}{2}}=\infty }$

となって発散級数となる。以下に列挙するゼータ関数の特殊値は負の偶数に対する特殊値も含み、これは恒等的に ζ (s) = 0 であり、いわゆる自明な零点となる。

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1644年、イタリアのピエトロ・メンゴリ（イタリア語版、ドイツ語版）によって以下の問題が提起された。この問題は、解決に挑んだ数学者の多くがバーゼルの生まれであったことから、バーゼル問題と呼ばれる。

バーゼル問題は、スイスのレオンハルト・オイラーによって初めて解決された。オイラーは、三角関数のテイラー級数およびその無限乗積の x² の項の展開係数を比較することで、

${\displaystyle -{\frac {1}{3!}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

となることから、

${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

が成り立つことを示した。さらにオイラーの研究はバーゼル問題にとどまることはなく、より一般の場合の研究に努め、任意の自然数 n に対して、

${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}\,(2\pi )^{2n}\,B_{2n}}{2\,(2n)!}}}$

が成り立つことも示した^[2][3]。ただし、ここで B_2n は 2n 番目のベルヌーイ数である。

この公式により、正の偶数に対する特殊値を容易く計算することができる。しかるに n = 1 から小さい順に n = 10 まで計算してみると、

${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \zeta (4)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (6)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}}$

${\displaystyle \zeta (8)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{8}}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}$

${\displaystyle \zeta (10)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{10}}}={\frac {\pi ^{10}}{93555}}}$

${\displaystyle \zeta (12)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{12}}}={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}}$

${\displaystyle \zeta (14)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{14}}}={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}}$

${\displaystyle \zeta (16)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{16}}}={\frac {3617\pi ^{16}}{325641566250}}}$

${\displaystyle \zeta (18)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{18}}}={\frac {43867\pi ^{18}}{38979295480125}}}$

${\displaystyle \zeta (20)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{20}}}={\frac {173611\pi ^{20}}{1531329465290625}}}$

となる。またその近似値は、以下の表に示す通りである。

正の偶数に対する特殊値の近似値

ζ (2n)	近似値	OEIS
ζ (2)	1.64493 40668 48226 43647...	A013661
ζ (4)	1.08232 32337 11138 19151...	A013662
ζ (6)	1.01734 30619 84449 13971...	A013664
ζ (8)	1.00407 73561 97944 33937...	A013666
ζ (10)	1.00099 45751 27818 08533...	A013668
ζ (12)	1.00024 60865 53308 04829...	A013670
ζ (14)	1.00006 12481 35058 70482...	A013672
ζ (16)	1.00001 52822 59408 65187...	A013674
ζ (18)	1.00000 38172 93264 99983...	A013676
ζ (20)	1.00000 09539 62033 87279...	A013678

この表からもわかるように、ゼータ関数は s → ∞ の極限で ζ (s) → 1 である。すなわち、

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }\zeta (s)=1}$

である。また、自然数 n に対して、

${\displaystyle a_{n}\,\zeta (2n)=\pi ^{2n}\,b_{n}}$

を満たすように a_n と b_n を定める。ただし、ここで a_n と b_n は任意の自然数 n に対して常に自然数をとるものとする。すると、このとき a_n と b_n の n = 1 から n = 20 までの挙動は以下の表に示す通りである。

係数

n	an	bn
1	6	1
2	90	1
3	945	1
4	9450	1
5	93555	1
6	638512875	691
7	18243225	2
8	325641566250	3617
9	38979295480125	43867
10	1531329465290625	174611
11	13447856940643125	155366
12	201919571963756521875	236364091
13	11094481976030578125	1315862
14	564653660170076273671875	6785560294
15	5660878804669082674070015625	6892673020804
16	62490220571022341207266406250	7709321041217
17	12130454581433748587292890625	151628697551
18	20777977561866588586487628662044921875	26315271553053477373
19	2403467618492375776343276883984375	308420411983322
20	20080431172289638826798401128390556640625	261082718496449122051

さらに c_n = b_n/a_n と定めると、偶数に対する特殊値はより簡単に、

${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}=c_{n}\,\pi ^{2n}}$

とかくことができる。するとこのとき、

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k-1}\,c_{n-k}}{(2k+1)!}}+{\frac {(-1)^{n+1}\,n}{(2n+1)!}}}$

なる漸化式が存在することがわかる。この漸化式は、ベルヌーイ数を効率的に求める漸化式に基づいている。また、特殊値の係数ではなく、ゼータ関数についての漸化式も存在する。余接関数の微分：

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\cot z=-1-\cot ^{2}z}$

およびその部分分数分解による表現：

${\displaystyle \cot z={\frac {1}{z}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)\,z^{2n-1}}{\pi ^{2n}}}}$

を用いれば、

${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\,\zeta (2n-2k)}$

が容易に導かれる^[4]。ただし、ここで n > 1 である。

ゼータ関数は Re s > 1 なる複素数 s に対して定義される関数であるが、その定義式に s = 1 を代入すると、

${\displaystyle \zeta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$

となって調和級数に一致する。調和級数は、古くにおいては収束すると考えられていたが、今日においては発散することが知られている。しかしこれはコーシーの主値は存在し、

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}=\gamma }$

である。ただし、ここで γ はオイラーの定数である^[5]。

また、正の偶数に対する特殊値はベルヌーイ数を用いる形で一般化されたが、正の奇数に対する特殊値は簡潔な形で表すことができないことが知られている。例えば、ゼータ関数に s = 3 を代入した実数 ζ (3) はアペリーの定数として知られ、様々な積分表示や級数表示が発見されているものの、簡単な形で表すことができない。また ζ (3) は無理数であることがわかっている。この主張をアペリーの定理という。また、正の偶数に対する特殊値が常に無理数となることはその一般化された公式を見れば一目瞭然である一方、正の奇数に対する特殊値がすべて無理数であるかどうかは現在もまだわかっていないが、すべて無理数ではないかと予想されている^[6]。以下の表にその近似値を示す。

正の奇数に対する特殊値の近似値

ζ (2n + 1)	近似値	OEIS
ζ (1)	-	-
ζ (3)	1.20205 69031 59594 28539...	A02117
ζ (5)	1.03692 77551 43369 92633...	A013663
ζ (7)	1.00834 92773 81922 82683...	A013665
ζ (9)	1.00200 83928 26082 21441...	A013667
ζ (11)	1.00049 41886 04119 46455...	A013669
ζ (13)	1.00012 27133 47578 48914...	A013671
ζ (15)	1.00003 05882 36307 02049...	A013673
ζ (17)	1.00000 76371 97637 89976...	A013675
ζ (19)	1.00000 19082 12716 55393...	A013677

アペリーの定数をはじめとした正の奇数に対する特殊値には様々な積分表示や級数表示が与えられており、それらを計算する場合はゼータ関数の定義式を利用するのではなく、別の収束速度の速い公式を利用することが多い。

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}}{7}}{\Biggl [}{\frac {3}{2}}-\log \pi +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{2^{2n-1}\,n\,(2n+1)(2n+2)}}{\Biggr ]}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}{\Biggl [}1-4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{2^{2n}\,(2n+1)(2n+2)}}{\Biggr ]}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\,(e^{2n\pi }-1)}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\,(n!)^{2}}{n^{3}\,(2n)!}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n!)^{4}\,(30n-11)}{n^{3}\,[(2n)!]^{2}\,(2n-1)}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\,(n!)^{10}\,(205n^{2}-160n+32)}{n^{5}\,[(2n)!]^{5}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh n\pi }}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\,(e^{2n\pi }-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\,(e^{2n\pi }+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}\log 2}{7}}+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log \sin x\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {\log xy}{1-xy}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y}$

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}z}{1-xyz}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=\operatorname {Re} \int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}z}{f(f(f(x)\,y)\,z)}}\quad {\rm {where}}\,f(x)={\frac {1+{\sqrt {3}}i}{2}}\,x}$

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {\pi ^{5}}{294}}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh n\pi }}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }-1)}}+{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {2\pi ^{4}}{3\,(2^{5}-1)}}{\Biggl [}\log 2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n+5)\,\zeta (2n)}{2^{2n}\,(n+2)(2n+3)}}{\Biggr ]}}$

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {2\pi ^{4}}{31}}{\Biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{2^{2n}(n+2)(2n+1)}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (3)}{2^{2n}\,(n+1)(2n+3)}}{\Biggr ]}}$

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{24}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{4}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}$

正の奇数 n に対して、

${\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}\,(e^{2n\pi }\pm 1)}}}$

なる級数を定めるとき、ζ (3) や ζ (5) で見られたような一連の級数は次の形で定式化される。

${\displaystyle A_{n}\,\zeta (n)-B_{n}\,\pi ^{n}+C_{n}\,S_{-}(n)+D_{n}\,S_{+}(n)=0}$

ただし、ここで A_n 、B_n 、C_n および D_n は、任意の正の奇数 n に対して常に自然数をとるものとする。ここでの B_n はベルヌーイ数とは異なる。すると、このとき A_n 、B_n 、C_n および D_n の n = 3 から n = 19 までの挙動は以下の表に示す通りである。

係数

n	An	Bn	Cn	Dn
3	180	7	360	0
5	1470	5	3024	84
7	56700	19	113400	0
9	18523890	625	37122624	74844
11	425675250	1453	851350500	0
13	257432175	89	514926720	62370
15	390769879500	13687	781539759000	0
17	1904417007743250	6758333	3808863131673600	29116187100
19	21438612514068750	7708537	42877225028137500	0

これらの整数はベルヌーイ数の和として表現することができる。任意の整数引数に対するゼータ関数の高速計算アルゴリズムは、アナトリー・カラツバ（英語版）によって与えられている^[7][8][9]。