独立増分過程

確率空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$で定義された ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ -値確率過程 ${\displaystyle X=\{X_{t}\}_{t\geq 0}}$ が加法過程であるとは次の条件をみたすときをいう:

1. ${\displaystyle X_{0}=0}$　a.s.
2. 任意の ${\displaystyle t\geq 0,\varepsilon >0}$ に対して、${\displaystyle \lim _{h\to 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0}$.
3. ${\displaystyle P(\Omega _{0})=1}$ を満たす ${\displaystyle \Omega _{0}\in {\mathcal {F}}}$ が存在して、任意の ${\displaystyle \omega \in \Omega _{0}}$ に対して ${\displaystyle X_{t}(\omega ):t\mapsto X_{t}(\omega )}$ は右連続かつ左極限をもつ。
4. 任意の ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ と ${\displaystyle 0\leq t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}<\infty }$ に対して、${\displaystyle X_{t_{0}},X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}$ は独立。

2. を確率連続性、3. をcàdlàg性、4. を独立増分性という。

確率過程 ${\displaystyle X=\{X_{t}\}_{t\geq 0}}$ がレヴィ過程であるとは、加法過程であって次の条件をみたすときをいう:

• 任意の ${\displaystyle s\geq 0}$ に対して、${\displaystyle X_{t+s}-X_{t}}$ の分布は ${\displaystyle t}$ には依存しない。

この条件を時間的一様性(time homogeneity)、または定常増分性という。

• 自己相似過程
• 非整数ブラウン運動
• ガウス過程
• マルコフ過程
• 確率微分方程式
• 数理ファイナンス

• A.Khintchine, A new derivation of a formula by. P. Lévy, Bull. Moscow Gov. Univ. 1, No. 1, 1-5.
• P.Lévy. Sur les intégrales dont les éléments sont des variables aléatoires indépendentes, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (2) 3, 337-366.(PDF-files)