連続一様分布

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連続一様分布の確率密度関数は次の通りである。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[1ex]0&{\text{for }}x<a{\text{ or }}x>b,\end{cases}}}$

2つの境界 a と b での値は、f(x) dx の任意の区間での積分に影響を与えないし、x f(x) dx の積分にも影響を与えないため、通常あまり重視されない。したがって、0 とする場合もあるし、1/b − a とする場合もある。後者は最尤法による推定の場合によく見られる。フーリエ解析においては、f(a) や f(b) の値を 1/2(b − a) とすることもある。そうすると、この一様関数の積分変換の逆変換は元の関数自身に戻る。さもないと「ほとんど至るところで」等しい関数に戻る。すなわち、零集合以外で等しい関数になる。また、このような曖昧さのない符号関数の定義とも一貫する。

累積分布関数は次の通りである。

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\{\dfrac {x-a}{b-a}}&{\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{cases}}}$

積率母関数は次の通りである。

${\displaystyle M_{x}=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$

ここから積率 m_k を計算することができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\frac {a+b}{2}},\\m_{2}&={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},\\m_{k}&={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.\\\end{aligned}}}$

この分布に従う確率変数では、期待値は m₁ = a + b/2 となり、分散は ${\displaystyle m_{2}-{m_{1}}^{2}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$ となる。

n ≥ 2 のとき、区間 [0, 1] 上の一様分布の n 番目のキュムラントは ${\displaystyle {\frac {b_{n}}{n}}}$ であり、ここで b_n は n 番目のベルヌーイ数である。

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この分布は区間よりも複雑な集合に一般化することができる。S を正の有限測度のボレル集合としたとき、S 上の一様分布の確率密度関数は、S の範囲外ではゼロで S 上では 1/K という一定の値をとる。ここで K は S のルベーグ測度である。

X₁, …, X_n が U(0, 1) からの独立同分布 (i.i.d.) の標本とする。X_(k) がこの標本における k番目の順序統計量とする。すると、X_(k) の確率分布は k と n − k + 1 を母数とするベータ分布である。期待値は次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{(k)})={\frac {k}{n+1}}}$

このことは、Q-Qプロットを作成する際に便利である。 分散は次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{(k)})={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}}$

一様分布する確率変数の任意の固定長の区間での確率は、その区間が分布の台に含まれる限りにおいて、その区間自体の位置とは独立である（ただし、区間の長さには依存する）。

これを示すため、X ≈ U(0, b) で [x, x + d] が [0, b] の部分区間であり、定数 d > 0 とすると、

${\displaystyle P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}}$

となり、x とは独立となる。この事実から「一様」分布と名付けられた。

a = 0 かつ b = 1 に限定したときの分布 U(0, 1) を標準一様分布 (standard uniform distribution) と呼ぶ。

標準一様分布の興味深い属性として、u₁ が標準一様分布を持つなら、1 − u₁ も同様である。この属性は、対照変量法など様々な分野で利用されている。

• X が標準一様分布であるとき、逆関数法により、Y = −ln(X) / λ はパラメータ λ の指数分布となる。
• ${\displaystyle Y=1-X^{1/n}}$ はパラメータが 1 と n のベータ分布である。なお、このことは、標準一様分布がパラメータ 1 と 1 のベータ分布の特殊ケースであることを意味する。
• 2つの独立同分布の一様分布の総和は対称な三角分布となる。
• 一様分布に従う独立な確率変数の和はアーウィン・ホール分布に従う。

遷移点の扱いが同じであれば、連続一様分布の確率密度関数はヘヴィサイドの階段関数を使って次のように表すこともできる。

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}}}$

あるいは、矩形関数を使って次のように表すこともできる。

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {x-(a+b)/2}{b-a}}\right)}$

符号関数の遷移点の解釈には曖昧さがない。遷移点が符号関数と同じく半分の値をとるとした場合、一様分布は符号関数を使って次のように表せる。

${\displaystyle f(x)={\frac {\operatorname {sgn}(x-a)-\operatorname {sgn}(x-b)}{2(b-a)}}}$