Méthode tau
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Si vous venez d’apposer le bandeau, merci d’indiquer ici les points à vérifier.En analyse numérique la méthode tau est, avec la méthode de Galerkine ou celle de collocation, l'une des méthodes utilisée dans le cadre des méthodes spectrales pour la résolution des équations différentielles ou aux dérivées partielles[1],[2],[3].
On considère l'équation différentielle suivante établissant la fonction définie sur l'intervalle :
![{\displaystyle x\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a15936df283add394ab909aa7a5e24e7fb6bb2)
Sa solution exacte est . On cherche une solution approchée en écrivant l'équation :
où est un polynôme de degré N. Il existe un polynôme tel que la solution soit également un polynôme de degré N et un paramètre que l'on espère petit. Par exemple, si on prend la solution s'écrit :
- pour .
Le résidu par rapport au développement de la solution exacte est en . On obtient ainsi une approximation heuristique raisonnable au regard de la simplicité de la méthode. En augmentant l'ordre à la valeur N, l'erreur est en et décroît donc avec N.
On peut généraliser cette méthode à un système d'équations aux dérivées partielles linéaire[4].
Généralisation de la méthode
Cette méthode a été généralisée, en particulier par Steven Orszag. On considère l'équation différentielle :
où est un opérateur linéaire.
Les conditions aux bords sont données par les opérateurs et (linéaires, de type Dirichlet, Neumann ou Robin) :
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}B_{-}u(\alpha )&=&g_{-}\\[0.3em]B_{+}u(\beta )&=&g_{+}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49d0c7c31661848bfd1dc52551d6086447ac7b51)
On recherche la solution sous la forme d'une série de fonctions de base :
Ces fonctions de base sont orthogonales avec un poids donné w positif, adapté au choix de la fonction de base :
où est le symbole de Kronecker.
Elles vérifient les conditions aux bords :
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}B_{-}u_{N}(\alpha )&=&g_{-}\\[0.3em]B_{+}u_{N}(\beta )&=&g_{+}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad7ee8f3e7d9d2692320676cf80c1f0a99e9aa1)
On appelle résidu la quantité :
Le problème est donc de résoudre le système :
soit :
Avec les deux conditions aux bords, on obtient ainsi un système linéaire de équations à résoudre.
Les polynômes couramment utilisés sont ceux de Tchebychev, de Legendre ou de Laguerre[2].
![{\displaystyle x\in [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9d0dda56ce3e01e14570ac9aef0021c6125722)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}u(x)&=&\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)\\[0.3em]{\frac {du}{dx}}&=&\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}^{(1)}T_{n}(x)\\[0.3em]{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}&=&\sum _{n=0}^{N-2}a_{n}^{(2)}T_{n}(x)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38443ba15456e75c2e6adb5890e059f3b5e786f7)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{N-2}a_{n}^{(2)}T_{n}(x)&=&1\\[0.3em]\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(-1)&=&0\\[0.3em]\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}^{(1)}T_{n}(1)&=&0\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7c54c12dea3a763c812f75918324895ae9e1cb)
![{\displaystyle {\begin{array}{rclll}a_{0}^{(2)}&=&4a_{2}+32a_{4}&=&1\\[0.2em]a_{1}^{(2)}&=&24a_{3}+120a_{5}&=&0\\[0.2em]a_{2}^{(2)}&=&48a_{4}&=&0\\[0.2em]a_{3}^{(2)}&=&48a_{4}&=&0\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6d7c6163ee4ffb8e6c7dbbb712a34ece54f693)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}&=&0\\[0.2em]a_{1}+4a_{2}+9a_{3}+16a_{4}+25a_{5}&=&0\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ced95150b1649671f6798b828208bb2466ffdd)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}u(x)&=&-{\frac {5}{4}}T_{0}(x)-T_{1}(x)+{\frac {1}{4}}T_{2}(x)\\[0.3em]&=&{\frac {x^{2}}{2}}-x-{\frac {3}{2}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4cf18217a69952196e9984b8609cb830a313c4)
